Gauß - Lemma / Beweis < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:40 Do 23.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen!
Ich beschäftige mich im Augenblick mit dem Lemma von Gauß und versuche natürlich auch den Beweis zu verstehen. Bei der Nacharbeitung des Beweises stellt sich mir eine Fragen, die ich mir selber nicht beantworten kann...
LEMMA VON GAUß :
Sei [mm] R_p = \{ 1, ... , p-1 \} [/mm] und sei [mm] S_p = \{ - \bruch{p-1}{2} , ... , -1, 1, ... , \bruch{p-1}{2} \} [/mm] die Menge der absolut kleinsten Reste.
Sei [mm] a \in \mathbb Z [/mm] mit [mm] p \nshortmid a[/mm] und [mm] (a)_p [/mm] der Vertreter von a in [mm] S_p [/mm].
Sei [mm] \mu_p (a) := [/mm] Anzahl neg. Zahlen in [mm] \{ (a)_p , (2a)_p, ... , ( \bruch{1-p}{2} )_p \} [/mm].
Es gilt:
[mm] ( \bruch{a}{p} ) = (-1)^{\mu_p (a) } [/mm]
Beweis :
Für [mm] l = 1, ... , \bruch{p-1}{2} [/mm] sei
a [mm] \cdot [/mm] l [mm] \pm \equiv m_l \mod [/mm] p [/mm] mit [mm] m_l \in \{ 1, ... , \bruch{p-1}{2} \} =: T [/mm] .
Wir betrachten die Abbildung
[mm] \lambda : T \to T [/mm] mit [mm] \lambda: l \to m_l [/mm]
Diese ist injektiv.
Sei [mm] \lambda (l ) = \lambda (k) \Rightarrow m_l = m_k [/mm].
[mm] \Rightarrow a \cdot l \equiv \pm m_k = \pm a \cdot k \mod p [/mm]
Wenn + steht, dann [mm] p \nshortmid a \cdot l - a \cdot k \Rightarrow l = k [/mm]
Wenn- steht, dann [mm] p \nshortmid ( l + k) a \ Rightarrow p \nshortmid ( l + k) [/mm]
Das geht nicht, da [mm] l, k \in \{ 1, ... , \{p-1}{2} \} [/mm] !
Bilde das Produkt der rechten und der linken Seite der Gleichungen:
[mm] a \cdot l \equiv \pm m_l \mod p [/mm]
über alle l.
Wie erhalten:
( * ) [mm] a^{ \bruch{ p-1}{2} } \cdor ( \bruch{p-1}{2} ) ! \equiv (-1)^{ \mu_p (a) } \cdot ( \bruch{p-1}{2} ) ! \mod p [/mm]
[mm]\Rightarrow a^{ \bruch{ p-1}{2} } \equiv (-1)^{ \mu_p (a) } \mod p [/mm]
Und nach Euler ist bekannt, dass
[mm] a^{ \bruch{ p-1}{2} } \equiv ( \bruch{a}{p}) [/mm]
Meine einzige Frage bezieht sich auf die Gleichung (*).
Wie kommt man darauf?
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Do 23.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Guten Morgen!
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> Ich beschäftige mich im Augenblick mit dem Lemma von Gauß
> und versuche natürlich auch den Beweis zu verstehen. Bei
> der Nacharbeitung des Beweises stellt sich mir eine
> Fragen, die ich mir selber nicht beantworten kann...
>
> LEMMA VON GAUß :
>
> Sei [mm]R_p = \{ 1, ... , p-1 \}[/mm] und sei [mm]S_p = \{ - \bruch{p-1}{2} , ... , -1, 1, ... , \bruch{p-1}{2} \}[/mm]
> die Menge der absolut kleinsten Reste.
>
> Sei [mm]a \in \mathbb Z[/mm] mit [mm]p \nshortmid a[/mm] und [mm](a)_p[/mm] der
> Vertreter von a in [mm]S_p [/mm].
>
> Sei [mm]\mu_p (a) := [/mm] Anzahl neg. Zahlen in [mm]\{ (a)_p , (2a)_p, ... , ( \bruch{1-p}{2} )_p \} [/mm].
>
> Es gilt:
>
> [mm]( \bruch{a}{p} ) = (-1)^{\mu_p (a) }[/mm]
>
> Beweis :
>
> Für [mm]l = 1, ... , \bruch{p-1}{2}[/mm] sei
>
> a [mm]\cdot[/mm] l [mm]\pm \equiv m_l \mod[/mm] p[/mm] mit [mm]m_l \in \{ 1, ... , \bruch{p-1}{2} \} =: T[/mm]
> .
>
> Wir betrachten die Abbildung
>
> [mm]\lambda : T \to T[/mm] mit [mm]\lambda: l \to m_l[/mm]
> Diese ist
> injektiv.
> Sei [mm]\lambda (l ) = \lambda (k) \Rightarrow m_l = m_k [/mm].
>
> [mm]\Rightarrow a \cdot l \equiv \pm m_k = \pm a \cdot k \mod p[/mm]
>
>
> Wenn + steht, dann [mm]p \nshortmid a \cdot l - a \cdot k \Rightarrow l = k[/mm]
>
> Wenn- steht, dann [mm]p \nshortmid ( l + k) a \ Rightarrow p \nshortmid ( l + k)[/mm]
>
> Das geht nicht, da [mm]l, k \in \{ 1, ... , \{p-1}{2} \}[/mm] !
>
> Bilde das Produkt der rechten und der linken Seite der
> Gleichungen:
>
> [mm]a \cdot l \equiv \pm m_l \mod p[/mm]
>
> über alle l.
> Wie erhalten:
>
> ( * ) [mm]a^{ \bruch{ p-1}{2} } \cdor ( \bruch{p-1}{2} ) ! \equiv (-1)^{ \mu_p (a) } \cdot ( \bruch{p-1}{2} ) ! \mod p[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a^{ \bruch{ p-1}{2} } \equiv (-1)^{ \mu_p (a) } \mod p[/mm]
>
>
> Und nach Euler ist bekannt, dass
>
> [mm]a^{ \bruch{ p-1}{2} } \equiv ( \bruch{a}{p})[/mm]
>
> Meine einzige Frage bezieht sich auf die Gleichung (*).
> Wie kommt man darauf?
Linke Seite:
Du multiplizierst (p-1)/2 Terme, in denen jeweils a und ein zweiter Faktor l vorkomt. Dabei ist a immer gleich, und für l kommen alle Werte von 1 bis (p-1)/2 je einmal vor.
Daher kommt die Potenz von a und die Fakultät von (p-1)/2.
Rechte Seite:
Offensichtlich müssen dort alle Faktoren von 1 bis (p-1)/2 auch je einmal vorkommen, möglicherweise in einer anderen Reihenfolge als auf der linken Seite (ich stehe nicht ganz so in der Materie, ich hoffe aber, dass das ein Denkanstoß in die richtige Richtung ist.)
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank!
>
> Viele Grüße
> Irmchen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:58 Do 23.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Dankeschön!!!!
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:36 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Tag!
Ich habe den Beweis vom Lemma nun soweit vertstanden, außer eine Sache:
> > LEMMA VON GAUß :
> >
> > Sei [mm]R_p = \{ 1, ... , p-1 \}[/mm] und sei [mm]S_p = \{ - \bruch{p-1}{2} , ... , -1, 1, ... , \bruch{p-1}{2} \}[/mm]
> > die Menge der absolut kleinsten Reste.
> >
> > Sei [mm]a \in \mathbb Z[/mm] mit [mm]p \nshortmid a[/mm] und [mm](a)_p[/mm] der
> > Vertreter von a in [mm]S_p [/mm].
> >
> > Sei [mm]\mu_p (a) :=[/mm] Anzahl neg. Zahlen in [mm]\{ (a)_p , (2a)_p, ... , ( \bruch{1-p}{2} )_p \} [/mm].
>
> >
> > Es gilt:
> >
> > [mm]( \bruch{a}{p} ) = (-1)^{\mu_p (a) }[/mm]
> >
> > Beweis :
> >
> > Für [mm]l = 1, ... , \bruch{p-1}{2}[/mm] sei
> >
> > a [mm]\cdot[/mm] l [mm]\pm \equiv m_l \mod[/mm] p[/mm] mit [mm]m_l \in \{ 1, ... , \bruch{p-1}{2} \} =: T[/mm]
> > .
> >
> > Wir betrachten die Abbildung
> >
> > [mm]\lambda : T \to T[/mm] mit [mm]\lambda: l \to m_l[/mm]
> > Diese ist
> > injektiv.
> > Sei [mm]\lambda (l ) = \lambda (k) \Rightarrow m_l = m_k [/mm].
>
> >
> > [mm]\Rightarrow a \cdot l \equiv \pm m_k = \pm a \cdot k \mod p[/mm]
>
> >
> >
> > Wenn + steht, dann [mm]p \nshortmid a \cdot l - a \cdot k \Rightarrow l = k[/mm]
>
> >
> > Wenn- steht, dann [mm]p \nshortmid ( l + k) a \ Rightarrow p \nshortmid ( l + k)[/mm]
>
> >
> > Das geht nicht, da [mm]l, k \in \{ 1, ... , \{p-1}{2} \}[/mm] !
Warum geht das nicht ?
> > Bilde das Produkt der rechten und der linken Seite der
> > Gleichungen:
> >
> > [mm]a \cdot l \equiv \pm m_l \mod p[/mm]
> >
> > über alle l.
> > Wie erhalten:
> >
> > ( * ) [mm]a^{ \bruch{ p-1}{2} } \cdor ( \bruch{p-1}{2} ) ! \equiv (-1)^{ \mu_p (a) } \cdot ( \bruch{p-1}{2} ) ! \mod p[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow a^{ \bruch{ p-1}{2} } \equiv (-1)^{ \mu_p (a) } \mod p[/mm]
>
> >
> >
> > Und nach Euler ist bekannt, dass
> >
> > [mm]a^{ \bruch{ p-1}{2} } \equiv ( \bruch{a}{p})[/mm]
> >
> > Meine einzige Frage bezieht sich auf die Gleichung (*).
> > Wie kommt man darauf?
> Linke Seite:
> Du multiplizierst (p-1)/2 Terme, in denen jeweils a und ein
> zweiter Faktor l vorkomt. Dabei ist a immer gleich, und für
> l kommen alle Werte von 1 bis (p-1)/2 je einmal vor.
> Daher kommt die Potenz von a und die Fakultät von
> (p-1)/2.
> Rechte Seite:
> Offensichtlich müssen dort alle Faktoren von 1 bis
> (p-1)/2 auch je einmal vorkommen, möglicherweise in einer
> anderen Reihenfolge als auf der linken Seite (ich stehe
> nicht ganz so in der Materie, ich hoffe aber, dass das ein
> Denkanstoß in die richtige Richtung ist.)
> Gruß Abakus
Und ich habe noch eine Angelegenheit dazu:
Aus diesem Lemma werden folgende Dinge gefolgert:
[mm] ( \bruch{2}{p} ) = \left\{\begin{matrix}
1, & \mbox{wenn } p \equiv 1 , 7 \mod 8 \\
-1, & \mbox{wenn }p \equiv 3, 5 \mod 8
\end{matrix}\right.
[/mm]
Und sei p = 8 k + 1 , dann folgt
[mm] \mu_p(2) = 5k - 2k = 2k [/mm]
Diese Folgerungen haben wir nur so hingeschrieben, ohne diese zu beweisen und jetzt weiß ich nicht wirklich viel mit anzufangen... Warum gilt das? Oder soll man sich das einfach so zum praktischen Rechnen merken?
Und was hat es auf sich mit p = 8 k + 1 ? Anscheinend spiel die 8 eine Rolle in beiden Folgerungen... Warum?
Ich hoffe, dass mir jemand behilflich sein kann.
Viele Grüße
Irmchen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Do 06.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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