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Forum "Numerik linearer Gleichungssysteme" - Gauß Algorithmus Lösungsmenge
Gauß Algorithmus Lösungsmenge < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Gauß Algorithmus Lösungsmenge: Tipp/Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:45 Di 07.01.2014
Autor: Paper090

Aufgabe
[mm] 20x_{1}-10x_{2}+30x_{3}=110 [/mm]
       [mm] -22x_{2}-22x_{3}=-198 [/mm]
       [mm] -13x_{2}-13x_{3}=-117 [/mm]

[mm] x_{1}=1 x_{2}=4,5 x_{3}=4,5 [/mm]

Aber(weiter eliminiert):

[mm] 20x_{1}-10x_{2}+30x_{3}=110 [/mm]
     [mm] -22x_{2}-22x_{3}=-198 [/mm]
[mm] 0x_{1}- 0x_{2}- 0x_{3}=0 [/mm]

Ist das erste Ergebniss falsch,da es in der letzten Zeile unendlich viele Lösungen geben würde?Man kann das erste Ergebniss überall einsetzen, aber ein Online-Rechner sagt mir, dass es keine Lösungen gibt?

Danke und Gruß

        
Bezug
Gauß Algorithmus Lösungsmenge: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 Di 07.01.2014
Autor: angela.h.b.


> [mm]20x_{1}-10x_{2}+30x_{3}=110[/mm]
>         [mm]-22x_{2}-22x_{3}=-198[/mm]
>         [mm]-13x_{2}-13x_{3}=-117[/mm]
>  
> [mm]x_{1}=1 \quad x_{2}=4,5 \quad x_{3}=4,5[/mm]

Hallo,

Du hast - wie auch immer - eine (richtige) Lösung des LGS gefunden.
Dein lineares Gleichungssystem hat aber unendlich viele Lösungen.


>  
> Aber(weiter eliminiert):
>  
> [mm]20x_{1}-10x_{2}+30x_{3}=110[/mm]
>       [mm]-22x_{2}-22x_{3}=-198[/mm]
>   [mm]0x_{1}- 0x_{2}- 0x_{3}=0[/mm]

Das können wir noch ein wenig handlicher machen:

[mm] 2x_1-x_2+3x_3=11 [/mm]
    [mm] x_2+ x_3=9, [/mm]
[mm] 0x_{1}- 0x_{2}- 0x_{3}=0 [/mm]

oder in Matrixgestalt

[mm] \pmat{2&-1&3&|&11\\0&1&1&|&9??0&0&0&|&0}. [/mm]

Rang(A|b)=Rang(A),
also ist das LGS lösbar.

RangA=2 ist kleiner als die Anzahl der Variablen, also hat das System unendlich viele Lösungen.

Man kann [mm] x_3 [/mm] frei wählen,

[mm] x_3=t [/mm]

bekommt aus Zeile 2

[mm] x_2=9-t [/mm]

und aus Zeile 1 dann

[mm] x_1=5.5+0.5x_2-1.5x_3=5.5+4.5-0.5t-1.5t=10-2t. [/mm]

Das sagt uns:

für jedes [mm] t\in \IR [/mm] ist [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{10-2t\\9-t\\t}=\vektor{10\\9\\0}+t*\vektor{-2\\-1\\1} [/mm]

eine Lösung des vorliegenden LGS.

(Für t=4.5 bekommt man die von Dir genannte Lösung)

LG Angela






>  Ist das erste Ergebniss
> falsch,da es in der letzten Zeile unendlich viele Lösungen
> geben würde?Man kann das erste Ergebniss überall
> einsetzen, aber ein Online-Rechner sagt mir, dass es keine
> Lösungen gibt?
>  
> Danke und Gruß


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