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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:27 Mi 08.07.2015 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen :),
ich möchte beweisen, dass gilt
(1) [mm]\lim_{n\to\infty}\frac{\lfloor 2^n t \rfloor +1}{2^n}=t[/mm]
und
(2) [mm]\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{\lfloor tn \rfloor}=e^{-t}[/mm]
Könntet ihr mir da etwas weiterhelfen?
Komme nicht weiter. Freue mich über alle Tipps :)
VG
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:47 Mi 08.07.2015 | | Autor: | Fry |
Hab nochmal drüber nachgedacht...
Da müsste die Abschätzung
$x-1 [mm] \le \lfloor x\rfloor \le [/mm] x$
helfen, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:08 Mi 08.07.2015 | | Autor: | fred97 |
Ich zeig Dir mal (1):
Es gilt: $ [mm] \lfloor [/mm] 2^nt [mm] \rfloor \le [/mm] 2^nt [mm] \le \lfloor [/mm] 2^nt [mm] \rfloor [/mm] +1$
Aus der 2. Ungl. folgt
(1) $t [mm] \le \bruch{ \lfloor 2^nt \rfloor +1}{2^n}$
[/mm]
und aus der 1. Ungl.
(2) $ [mm] \bruch{ \lfloor 2^nt \rfloor +1}{2^n} \le \bruch{ 2^nt +1}{2^n}=t+\bruch{1}{2^n}$.
[/mm]
Fazit aus (1) und (2):
$t [mm] \le \bruch{ \lfloor 2^nt \rfloor +1}{2^n} \le [/mm] t+ [mm] \bruch{1}{2^n}$.
[/mm]
FRED
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