Gaußklammer (Induktionsbeweis) < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] $(q_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] sei die Folge ganzer Zahlen, definiert durch:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] q_{n}:=\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}$.
[/mm]
Die folgende Aussage soll durch Induktion bewiesen werden:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN \summe_{k=1}^{n}q_{k}=\lfloor [/mm] n/2 [mm] \rfloor$.
[/mm]
Für eine rationale Zahl x bezeichnet [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] die größte ganze Zahl, die kleiner x ist. |
Hallo,
ich habe folgenden Ansatz, scheitere aber bereits am Anfang des Beweises und benötige deshalb Hilfe:
Induktionsanfang: n=1: [mm] $\summe_{k=1}^{1}q_{k}=q_{1}=0=\lfloor [/mm] 0/2 [mm] \rfloor$
[/mm]
Induktionsschritt $n [mm] \to [/mm] n+1$:
Induktionsvoraussetzung:
Für ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gelte: [mm] $\summe_{k=1}^{n}q_{k}=\lfloor [/mm] n/2 [mm] \rfloor$
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $\summe_{k=1}^{n+1}q_{k}=\lfloor [/mm] n+1/2 [mm] \rfloor$
[/mm]
Dann folgt:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}q_{k}=\left[ \summe_{k=1}^{n} \right] q_{k+1}$
[/mm]
$= [mm] \lfloor [/mm] n+1/2 [mm] \rfloor [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n+1}(-1)^{n+1}$
[/mm]
Vielen Dank für die Mühe.
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
die Folgenglieder sind doch 0,1,0,1,0,1,0,1,...
Da sieht es ganz so aus, als ob Du besser bei der Induktion auch in Zweierschritten vorgehst. Dafür gibt es verschiedene Möglichkeiten. Du kannst z.B. zeigen, dass der Schritt [mm] n\to{n+2} [/mm] stimmt, und nachträglich, dass dann auch der für $ n+1 $ korrekt ist. Oder Du machst zwei getrennte Induktionsbeweise für gerade und für ungerade n.
Grüße
reverend
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Sorry reverend, aber ich glaube ich kann dir nicht ganz folgen.
[mm] $(-1)^{0}=1$
[/mm]
[mm] $(-1)^{1}=-1$
[/mm]
[mm] $(-1)^{2}=1$
[/mm]
[mm] $(-1)^{3}=-1$
[/mm]
...
Davon mal abgesehen... Ist mein Ansatz komplett falsch?
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Di 23.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Sorry reverend, aber ich glaube ich kann dir nicht ganz
> folgen.
>
> [mm](-1)^{0}=1[/mm]
> [mm](-1)^{1}=-1[/mm]
> [mm](-1)^{2}=1[/mm]
> [mm](-1)^{3}=-1[/mm]
Und die Summenfolge dieser Werte ergibt
1=1
1+(-1)=0
1+(-1)+1=1
1+(-1)+1+(-1)=0
...
Gruß Abakus
> ...
>
> Davon mal abgesehen... Ist mein Ansatz komplett falsch?
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
>
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| Aufgabe | [mm] $(q_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] sei die Folge ganzer Zahlen, definiert durch:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] q_{n}:=\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}$.
[/mm]
Die folgende Aussage soll durch Induktion bewiesen werden:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN \summe_{k=1}^{n}q_{k}=\lfloor [/mm] n/2 [mm] \rfloor$.
[/mm]
Für eine rationale Zahl x bezeichnet [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] die größte ganze Zahl, die kleiner x ist. |
Hallo,
zur besseren Übersicht oben nochmals die Angabe.
Was ist eigentlich der Hintergedanke, wenn man zuerst n+2 und dann erst n+1 beweist?
Induktionsanfang: n=1: [mm] $\summe_{k=1}^{1}q_{k}=q_{1}=0=\lfloor [/mm] 0/2 [mm] \rfloor$
[/mm]
Induktionsschritt $n [mm] \to [/mm] n+2$:
Induktionsvoraussetzung:
Für ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gelte: [mm] $\summe_{k=1}^{n}q_{k}=\lfloor [/mm] n/2 [mm] \rfloor$
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $\summe_{k=1}^{n+2}q_{k}=\lfloor [/mm] n+2/2 [mm] \rfloor=\lfloor \bruch{n}{2}+1 \rfloor$
[/mm]
Dann folgt:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+2}q_{k}=\left[ \summe_{k=1}^{n} \right] q_{k+2}$
[/mm]
$= [mm] \lfloor [/mm] n/2 [mm] \rfloor [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n+2}(-1)^{n+2}$
[/mm]
Ist das soweit richtig und falls ja, was ist der nächste Schritt?
Vielen Dank für die Mühe und Hilfe.
Gruß
el_grecco
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Morgen!
> zur besseren Übersicht oben nochmals die Angabe.
Gute Idee.
> Was ist eigentlich der Hintergedanke, wenn man zuerst n+2
> und dann erst n+1 beweist?
Ganz einfach: man kennt die Summe zweier aufeinanderfolgender Glieder der Folge. Sie ist 1.
> Induktionsanfang: n=1:
> [mm]\summe_{k=1}^{1}q_{k}=q_{1}=0=\lfloor 0/2 \rfloor[/mm]
>
> Induktionsschritt [mm]n \to n+2[/mm]:
>
> Induktionsvoraussetzung:
> Für ein [mm]n \in \IN[/mm] gelte: [mm]\summe_{k=1}^{n}q_{k}=\lfloor n/2 \rfloor[/mm]
>
> Zu zeigen: [mm]\summe_{k=1}^{n+2}q_{k}=\lfloor n+2/2 \rfloor=\lfloor \bruch{n}{2}+1 \rfloor[/mm] [mm] \blue{=\leftfloor\bruch{n}{2}\rightfloor+1}
[/mm]
Mit der blauen Fortschreibung müsstest Du doch was anfangen können.
> Dann folgt:
> [mm]\summe_{k=1}^{n+2}q_{k}=\left[ \summe_{k=1}^{n} \right] q_{k+2}[/mm]
Was will mir diese Schreibweise sagen?
> [mm]= \lfloor n/2 \rfloor + \summe_{k=0}^{n+2}(-1)^{n+2}[/mm]
Wenn Du auf die Partialsumme bis [mm] q_k [/mm] zurückführen willst, musst Du doch [mm] q_{k+1} [/mm] und [mm] q_{k+2} [/mm] aus der Summe herausziehen.
> Ist das soweit richtig und falls ja, was ist der nächste
> Schritt?
Bleibt noch zu zeigen, dass [mm] q_{k+1}+q_{k+2}=1 [/mm] ist.
lg
rev
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| Aufgabe | [mm] $(q_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] sei die Folge ganzer Zahlen, definiert durch:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] q_{n}:=\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}$.
[/mm]
Die folgende Aussage soll durch Induktion bewiesen werden:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN \summe_{k=1}^{n}q_{k}=\lfloor [/mm] n/2 [mm] \rfloor$.
[/mm]
Für eine rationale Zahl x bezeichnet [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] die größte ganze Zahl, die kleiner x ist. |
[mm] $\varepsilon \upsilon \chi \alpha \rho \iota \sigma \tau \omega$, [/mm] reverend!
(Ich habe einen Beitrag von dir im griechischen Bereich des Forums gelesen.  )
>
> > Induktionsanfang: n=1:
> > [mm]\summe_{k=1}^{1}q_{k}=q_{1}=0=\lfloor 0/2 \rfloor[/mm]
> >
> > Induktionsschritt [mm]n \to n+2[/mm]:
> >
> > Induktionsvoraussetzung:
> > Für ein [mm]n \in \IN[/mm] gelte: [mm]\summe_{k=1}^{n}q_{k}=\lfloor n/2 \rfloor[/mm]
>
> >
> > Zu zeigen: [mm]\summe_{k=1}^{n+2}q_{k}=\lfloor n+2/2 \rfloor=\lfloor \bruch{n}{2}+1 \rfloor[/mm]
> [mm]\blue{=\leftfloor\bruch{n}{2}\rightfloor+1}[/mm]
>
> Mit der blauen Fortschreibung müsstest Du doch was
> anfangen können.
>
Ich verstehe nur nicht, warum man die Abrundungsklammern einfach weglassen darf...?
> > Dann folgt:
> > [mm]\summe_{k=1}^{n+2}q_{k}=\left[ \summe_{k=1}^{n} \right] q_{k+2}[/mm]
>
> Was will mir diese Schreibweise sagen?
>
Ich glaube da ist ein Fehler drinnen und ich habe gestern Abend anscheinend den Plus-Operator vergessen:
[mm]\summe_{k=1}^{n+2}q_{k}=\left[ \summe_{k=1}^{n} \right] +q_{k+2}[/mm]
> > [mm]= \lfloor n/2 \rfloor + \summe_{k=0}^{n+2}(-1)^{n+2}[/mm]
>
> Wenn Du auf die Partialsumme bis [mm]q_k[/mm] zurückführen willst,
> musst Du doch [mm]q_{k+1}[/mm] und [mm]q_{k+2}[/mm] aus der Summe
> herausziehen.
>
> > Ist das soweit richtig und falls ja, was ist der nächste
> > Schritt?
>
> Bleibt noch zu zeigen, dass [mm]q_{k+1}+q_{k+2}=1[/mm] ist.
>
> lg
> rev
>
Hier nochmals mein Weg (inklusive deiner Vorschläge), um den Überblick nicht zu verlieren:
Induktionsanfang: n=1: [mm] $\summe_{k=1}^{1}q_{k}=q_{1}=0=\lfloor [/mm] 0/2 [mm] \rfloor$
[/mm]
Induktionsschritt $n [mm] \to [/mm] n+2$:
Induktionsvoraussetzung:
Für ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gelte: [mm] $\summe_{k=1}^{n}q_{k}=\lfloor [/mm] n/2 [mm] \rfloor$
[/mm]
Zu zeigen: [mm] $\summe_{k=1}^{n+2}q_{k}=\lfloor [/mm] n+2/2 [mm] \rfloor=\lfloor \bruch{n}{2}+1 \rfloor [/mm] = [mm] \bruch{n}{2}+1$
[/mm]
Dann folgt:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+2}q_{k}=\left[ \summe_{k=1}^{n} \right] +q_{k+2}$
[/mm]
$= [mm] \lfloor [/mm] n/2 [mm] \rfloor [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n+2}(-1)^{n+2}$
[/mm]
Mein Problem ist jetzt das Herausziehen aus der Summe, denn anscheinend soll das Summenzeichen am Ende verschwinden. Muss ich hier eine Indextransformation vornehmen oder wie lässt sich das Summenzeichen beseitigen?
Gruß
el_grecco
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Hallo nochmal,
ich bin gerade viel unterwegs. Komisch, dass noch niemand anders geantwortet hat. Vielleicht gehts denen ja genauso.
ορίστε, jedenfalls (mal sehen, was unser Parser zu Direkteinfügungen auf Griechisch so sagt). Siehe das P.S.
> > > Induktionsanfang: n=1:
> > > [mm]\summe_{k=1}^{1}q_{k}=q_{1}=0=\lfloor 0/2 \rfloor[/mm]
> > >
>
> > > Induktionsschritt [mm]n \to n+2[/mm]:
> > >
> > > Induktionsvoraussetzung:
> > > Für ein [mm]n \in \IN[/mm] gelte:
> [mm]\summe_{k=1}^{n}q_{k}=\lfloor n/2 \rfloor[/mm]
> >
> > >
> > > Zu zeigen: [mm]\summe_{k=1}^{n+2}q_{k}=\lfloor n+2/2 \rfloor=\lfloor \bruch{n}{2}+1 \rfloor[/mm]
> > [mm]\blue{=\leftfloor\bruch{n}{2}\rightfloor+1}[/mm]
> >
> > Mit der blauen Fortschreibung müsstest Du doch was
> > anfangen können.
> >
>
> Ich verstehe nur nicht, warum man die Abrundungsklammern
> einfach weglassen darf...?
Darf man auch gar nicht. In keinem Fall. Ich habe nur einen falschen LaTeX-Code eingegeben, nämlich \leftfloor statt \lfloor, rechts entsprechend - und das mag der Formeleditor offenbar gar nicht und ignoriert es einfach. Richtig hätte es also heißen müssen:
[mm] \blue{=\lfloor\bruch{n}{2}\rfloor +1}
[/mm]
> > > Dann folgt:
> > > [mm]\summe_{k=1}^{n+2}q_{k}=\left[ \summe_{k=1}^{n} \right] q_{k+2}[/mm]
>
> >
> > Was will mir diese Schreibweise sagen?
> >
>
> Ich glaube da ist ein Fehler drinnen und ich habe gestern
> Abend anscheinend den Plus-Operator vergessen:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+2}q_{k}=\left[ \summe_{k=1}^{n} \right] +q_{k+2}[/mm]
Auch noch nicht, sondern so: [mm] \blue{\summe_{k=1}^{n+2}q_k=\left(\summe_{k=1}^{n}q_k\right)+q_{k+1}+q_{k+2}=q_{k+1}+q_{k+2}+\summe_{k=1}^{n}q_k=1+\summe_{k=1}^{n}q_k}
[/mm]
Dabei ist eigentlich nur der letzte Schritt interessant und eigentlich noch zu zeigen.
> > > [mm]= \lfloor n/2 \rfloor + \summe_{k=0}^{n+2}(-1)^{n+2}[/mm]
Da fehlt aber [mm] q_{k+1}. [/mm] Es müsste also heißen
[mm] \blue{=\lfloor\bruch{n}{2}\rfloor+\left(\summe_{k=0}^{n+1}(-1)^k\right)+\left(\summe_{k=0}^{n+2}(-1)^k\right)}
[/mm]
> > Wenn Du auf die Partialsumme bis [mm]q_k[/mm] zurückführen willst,
> > musst Du doch [mm]q_{k+1}[/mm] und [mm]q_{k+2}[/mm] aus der Summe
> > herausziehen.
Das habe ich jetzt gerade ausgeschrieben. Es ist noch zu zeigen, dass die letztgenannten beiden Summen zusammen 1 ergeben.
Dazu ist eine Fallunterscheidung für n=2m und n=2m+1 nötig.
> Hier nochmals mein Weg (inklusive deiner Vorschläge), um
> den Überblick nicht zu verlieren:
Den nehme ich gerade mal heraus, sonst muss ich die Hälfte von dem oben nochmal tippen...
> Mein Problem ist jetzt das Herausziehen aus der Summe, denn
> anscheinend soll das Summenzeichen am Ende verschwinden.
> Muss ich hier eine Indextransformation vornehmen oder wie
> lässt sich das Summenzeichen beseitigen?
Eine Indextransformation wäre hier tatsächlich geschickt! Sie würde sogar die Fallunterscheidung unnötig machen. Bin ich gar nicht drauf gekommen. Also so:
Man löse den ersten Summanden aus der "längeren Summe" (die bis n+2) heraus und verschiebe den Index. Dann zeigt sich, dass die verbliebenen Summen einander aufheben. Es bleibt nur der erste Summand der zweiten Summe über, nämlich [mm] (-1)^0=1.
[/mm]
Hach, sehr schön.
Damit wäre die Induktion von n auf n+2 gelungen.
Um ehrlich zu sein, ist es am einfachsten, den Induktionsanfang einfach zweimal zu machen, also für n=1 und n=2. Der Induktionsschritt ist dann für beide gleich, und man hat die Behauptung damit für ganz [mm] \IN [/mm] gezeigt.
Grüße
reverend
PS: Mein "Neu"griechisch ist ziemlich nichtexistent. Manchmal verstehe ich einzelne Worte oder Sätze, und mit Grammatik und Wörterbuch noch etwas mehr. Aber ich spreche nicht einmal Urlaubergriechisch, war zuletzt so 1986 da. Das soll sich aber bald ändern.
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| Aufgabe | [mm] $(q_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] sei die Folge ganzer Zahlen, definiert durch:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] q_{n}:=\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}$.
[/mm]
Die folgende Aussage soll durch Induktion bewiesen werden:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN \summe_{k=1}^{n}q_{k}=\lfloor [/mm] n/2 [mm] \rfloor$.
[/mm]
Für eine rationale Zahl x bezeichnet [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] die größte ganze Zahl, die kleiner x ist. |
> Hallo nochmal,
>
> ich bin gerade viel unterwegs. Komisch, dass noch niemand
> anders geantwortet hat. Vielleicht gehts denen ja genauso.
>
> ορίστε, jedenfalls (mal sehen, was unser Parser zu
> Direkteinfügungen auf Griechisch so sagt). Siehe das P.S.
>
Hallo reverend,
danke für deine ausführliche Antwort. Denke mal in letzter Zeit ist im Forum sehr viel los und die Anzahl der Hilfesuchenden übersteigt die der Hilfeleistenden.
Siehe P.S.
Nochmal kurz zum eigentlichen Beweis:
>
> Auch noch nicht, sondern so:
> [mm]\blue{\summe_{k=1}^{n+2}q_k=\left(\summe_{k=1}^{n}q_k\right)+q_{k+1}+q_{k+2}=q_{k+1}+q_{k+2}+\summe_{k=1}^{n}q_k=1+\summe_{k=1}^{n}q_k}[/mm]
>
> [mm]\blue{=\lfloor\bruch{n}{2}\rfloor+\left(\summe_{k=0}^{n+1}(-1)^k\right)+\left(\summe_{k=0}^{n+2}(-1)^k\right)}[/mm]
>
> Es ist noch zu
> zeigen, dass die letztgenannten beiden Summen zusammen 1
> ergeben.
> Dazu ist eine Fallunterscheidung für n=2m und n=2m+1
> nötig.
>
Bis auf den letzten Schritt aus der ersten blau markierten Zeile, ist es mir glaube ich klar. Deshalb kurz nachgefragt:
Ist es richtig, dass ich die "Folge ganzer Zahlen" aus der Angabe verwenden muss $ [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] q_{n}:=\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k} [/mm] $ ?
Also [mm] $q_{k+1}=\summe_{k=0}^{k+1}(-1)^{k}=\summe_{k=0}^{0+1}(-1)^{k}=\summe_{k=0}^{1}(-1)^{k}=(-1)^{0}+(-1)^{1}=1+(-1)=0$
[/mm]
und
[mm] $q_{k+2}=\summe_{k=0}^{k+2}(-1)^{k}=\summe_{k=0}^{0+2}(-1)^{k}=\summe_{k=0}^{2}(-1)^{k}=(-1)^{0}+(-1)^{1}+(-1)^{2}=1+(-1)+1=1$
[/mm]
Ich würde das dann vor deinen letzten Schritt in der ersten Zeile [mm] $1+\summe_{k=1}^{n}q_k$ [/mm] einfügen und ich denke damit sollte das soweit bewiesen sein (vorausgesetzt meine Zeilen oben stimmen).
Die Fallunterscheidung, die du angesprochen hast, verstehe ich leider nicht so ganz. Würde das so aussehen?
$ [mm] q_{2m}=\summe_{k=0}^{2m}(-1)^{k}=(-1)^{0}+(-1)^{2m}$
[/mm]
$ [mm] q_{2m+1}=\summe_{k=0}^{2m+1}(-1)^{k}=(-1)^{0}+(-1)^{2m+1}$
[/mm]
>
> Eine Indextransformation wäre hier tatsächlich geschickt!
> Sie würde sogar die Fallunterscheidung unnötig machen.
> Bin ich gar nicht drauf gekommen. Also so:
>
> Man löse den ersten Summanden aus der "längeren Summe"
> (die bis n+2) heraus und verschiebe den Index. Dann zeigt
> sich, dass die verbliebenen Summen einander aufheben. Es
> bleibt nur der erste Summand der zweiten Summe über,
> nämlich [mm](-1)^0=1.[/mm]
> Hach, sehr schön.
>
Da ich im Moment noch etwas "blind" bin (siehe oben), löse ich das nach dem bisherigen Weg und hoffe, dass ich das dann selbst sehe.
> Damit wäre die Induktion von n auf n+2 gelungen.
> Um ehrlich zu sein, ist es am einfachsten, den
> Induktionsanfang einfach zweimal zu machen, also für n=1
> und n=2. Der Induktionsschritt ist dann für beide gleich,
> und man hat die Behauptung damit für ganz [mm]\IN[/mm] gezeigt.
>
Diese Variante werde ich dann auch noch "durchspielen", um meine Skills zu verbessern.
> Grüße
> reverend
>
Gruß
el_grecco
> PS: Mein "Neu"griechisch ist ziemlich nichtexistent.
> Manchmal verstehe ich einzelne Worte oder Sätze, und mit
> Grammatik und Wörterbuch noch etwas mehr. Aber ich spreche
> nicht einmal Urlaubergriechisch, war zuletzt so 1986 da.
> Das soll sich aber bald ändern.
>
P.S. Naja bei mir ist es so, dass ich väterlicherseits griechische Wurzeln habe und deshalb Neugriechisch auf einem akzeptablen Niveau beherrsche (zuhause wird Deutsch gesprochen), Altgriechisch leider überhaupt nicht bzw. nur die Wörter, die es auch im Neugriechischen gibt.
Wow 1986! Da hat sich inzwischen eine Menge getan (teilweise nicht unbedingt zum Positiven hin -> Verschuldung). 
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Hallo nochmal,
hier ein Nachweis, warum [mm] q_{n+1}+q_{n+2}=-1 [/mm] ist:
[mm] q_{n+1}+q_{n+2}=\left(\summe_{k=0}^{n+1}(-1)^k\right)+\left(\summe_{k=0}^{n+2}(-1)^k\right)=\left(\summe_{k=0}^{n+1}(-1)^k\right)+(-1)^0+\left(\summe_{k=\blue{1}}^{n+2}(-1)^k\right)=\left(\summe_{k=0}^{n+1}(-1)^k\right)+1+\blue{(-1)}*\left(\summe_{\blue{i=0}}^{\blue{n+1}}(-1)^k\right)=\left(\summe_{k=0}^{n+1}(-1)^k\right)(1\blue{-1})+1=1
[/mm]
Grüße
reverend
(Mal sehen, ob das richtig angezeigt wird. Wenn nicht, editiere ich noch ein bisschen daran herum.)
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| Aufgabe | [mm] $(q_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] sei die Folge ganzer Zahlen, definiert durch:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : [mm] q_{n}:=\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}$.
[/mm]
Die folgende Aussage soll durch Induktion bewiesen werden:
[mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN \summe_{k=1}^{n}q_{k}=\lfloor [/mm] n/2 [mm] \rfloor$.
[/mm]
Für eine rationale Zahl x bezeichnet [mm] $\lfloor [/mm] x [mm] \rfloor$ [/mm] die größte ganze Zahl, die kleiner x ist. |
Hallo reverend oder gerne auch jeder andere Helfer,
ich habe hierzu noch kurz eine Frage:
> Um ehrlich zu sein, ist es am einfachsten, den
> Induktionsanfang einfach zweimal zu machen, also für n=1
> und n=2. Der Induktionsschritt ist dann für beide gleich,
> und man hat die Behauptung damit für ganz [mm]\IN[/mm] gezeigt.
Ich denke, der Induktionsschritt ist hier dann $n [mm] \to [/mm] n+1$ bin mir aber nicht sicher, ob das vielleicht nicht doch $n [mm] \to [/mm] n+2$ sein muss?
Wäre super, wenn mich jemand aufklären könnte.
Vielen Dank.
Gruß
el_grecco
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Hallo el_grecco,
da gibts eigentlich nichts Neues zu sagen als das, was wir schon vorher durchgegangen sind...
> [mm](q_{n})_{n \in \IN}[/mm] sei die Folge ganzer Zahlen, definiert
> durch:
>
> [mm]\forall n \in \IN : q_{n}:=\summe_{k=0}^{n}(-1)^{k}[/mm].
>
> Die folgende Aussage soll durch Induktion bewiesen werden:
>
> [mm]\forall n \in \IN \summe_{k=1}^{n}q_{k}=\lfloor n/2 \rfloor[/mm].
>
> Für eine rationale Zahl x bezeichnet [mm]\lfloor x \rfloor[/mm] die
> größte ganze Zahl, die kleiner x ist.
Die zu beweisende Aussage stimmt aber nur, wenn die übliche Definition der "unteren Gaußklammer" gilt: [mm] \lfloor x\rfloor [/mm] bezeichnet die größte ganze Zahl [mm] \blue{\le}x.
[/mm]
> Hallo reverend oder gerne auch jeder andere Helfer,
Hier ist im Moment wirklich zu viel los, und ich habe gerade zu viel auf dem Job um die Ohren. Angeblich wirds gerade ruhiger, aber bei mir ist das noch nicht angekommen. :-(
> ich habe hierzu noch kurz eine Frage:
>
> > Um ehrlich zu sein, ist es am einfachsten, den
> > Induktionsanfang einfach zweimal zu machen, also für n=1
> > und n=2. Der Induktionsschritt ist dann für beide gleich,
> > und man hat die Behauptung damit für ganz [mm]\IN[/mm] gezeigt.
>
> Ich denke, der Induktionsschritt ist hier dann [mm]n \to n+1[/mm]
> bin mir aber nicht sicher, ob das vielleicht nicht doch [mm]n \to n+2[/mm]
> sein muss?
Na, ich will den Anfang doch für 1 und 2 machen, damit ich dann in Zweierschritten vorgehen kann. Die sind ja viel leichter zu zeigen. Ansonsten bräuchte man eine Fallunterscheidung in gerade und ungerade und hätte damit viel mehr Arbeit. Das will man ja generell vermeiden.
> Wäre super, wenn mich jemand aufklären könnte.
>
> Vielen Dank.
>
> Gruß
> el_grecco
Herzliche Grüße
reverend
Nochn PS: Dass der Maler nur ein C in seinem Spitz-/Rufnamen hatte, weißt Du bestimmt. Im Spanischen heißt Grieche oder griechisch allerdings "griego". Der Name ist darum ungewöhnlich, mit spanischem Artikel und italienischem Adjektiv. Das Wort "greco" existiert im Spanischen aber interessanterweise dennoch, wenn auch nur in Zusammensetzungen. Ob es für die Namensgebung auch noch Bedeutung hatte, dass Kreta, woher Δομήνικος Θεοτοκόπουλος ja stammte, damals zur Republik Venedig gehörte, oder ob er den Namen bei seinen Studien und Arbeiten in Italien (Venedig und Rom) angenommen hatte, so dass man in Madrid nur noch den italienischen Artikel "il" in die spanische Entsprechung "el" umwandelte, ist nicht bekannt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:31 Di 30.11.2010 | | Autor: | el_grecco |
Vielen Dank reverend für Deine Mühe und Hilfe, trotz der jobbedingten Zeitnot.
Die Aufgabe ist mir jetzt klar geworden.
> Nochn PS: Dass der Maler nur ein C in seinem
> Spitz-/Rufnamen hatte, weißt Du bestimmt. Im Spanischen
> heißt Grieche oder griechisch allerdings "griego". Der
> Name ist darum ungewöhnlich, mit spanischem Artikel und
> italienischem Adjektiv. Das Wort "greco" existiert im
> Spanischen aber interessanterweise dennoch, wenn auch nur
> in Zusammensetzungen. Ob es für die Namensgebung auch noch
> Bedeutung hatte, dass Kreta, woher Δομήνικος
> Θεοτοκόπουλος ja stammte, damals zur Republik
> Venedig gehörte, oder ob er den Namen bei seinen Studien
> und Arbeiten in Italien (Venedig und Rom) angenommen hatte,
> so dass man in Madrid nur noch den italienischen Artikel
> "il" in die spanische Entsprechung "el" umwandelte, ist
> nicht bekannt.
Mein nickname "el_grecco" war damals ein orthographischer Ausrutscher und ich bin bereits einige Male darauf angesprochen worden.
Viele Grüße
el_grecco
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Fr 26.11.2010 | | Autor: | ullim |
Hi,
hier noch die Variante mit Fallunterscheidung in n gerade und n ungerade
Der Induktionsanfang war ja klar. Also bleibt zu zeigen [mm] \summe_{k=1}^{n+1}q_k=\left[\br{n+1}{2}\right]
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}q_k=\summe_{k=1}^{n}q_k+q_{n+1}=\underbrace{\left[\br{n}{2}\right]+q_{n+1}}_{IV}
[/mm]
[mm] q_{n+1}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
also gilt
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}q_k=\left[\br{n}{2}\right]+\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
Es gilt
(*) [mm] \left[\br{n+1}{2}\right]=\begin{cases} \br{n}{2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \br{n+1}{2}, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}
[/mm]
also gilt auch (setze n-1 für n in (*) ein
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}q_k=\left[\br{n}{2}\right]+\begin{cases} 0, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ 1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}=\begin{cases} \br{n}{2}, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ \br{n-1}{2}+1, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases}=\left[\br{n+1}{2}\right]
[/mm]
Damit wäre der Nachweis erbracht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:51 Sa 27.11.2010 | | Autor: | el_grecco |
Vielen Dank, ullim.
Gruß
el_grecco
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