Gaußklammer Integration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hi, meine Aufgabe lautet:
Für n [mm] \in \IN [/mm] sei [mm] f_n [/mm] :[0,1] [mm] \rightarrow \IR [/mm] , x [mm] \rightarrow f_n(x) [/mm] := 1/n[nx] /Gaußklammer
Berechne [mm] \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} [/mm] |
Habe ich das so richtig verstanden:
[mm] \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{1/n[nx] dx} [/mm] = 1/n [mm] \integral_{0}^{1}{[nx] dx}
[/mm]
Nun nach x integrieren:
1/n [mm] \integral_{0}^{1}{[n1]dx} [/mm] =1/n [mm] {[nx]^1}_0 [/mm] =1/n ([n] - 0) = 1/n [n]
Was sagt ihr dazu?
mfg
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Hallo,
> Habe ich das so
> richtig verstanden:
ich bin mir nicht ganz sicher, ich glaube aber: du hast es völlig falsch verstanden.
Aber zunächst einmal zu deinen Schreibweisen:
i). Du sprichst von der Gaußklammer und schreibst eckige Klammern. Das ist missverständlich, weil nicht wirklich klar ist, welche Version der Gaussklammer gemeint ist. So lange nichts anderslautendes gesagt wird, meint man die floor-Funktion und schreibt besser
[mm]\left \lfloor x \right \rfloor[/mm]
ii). Wie genau soll die Funktion aussehen?
So:
[mm]f_n(x)=\frac{1}{n}*\left \lfloor nx \right \rfloor[/mm]
oder so:
[mm]f_n(x)=\frac{1}{n*\left \lfloor nx \right \rfloor}[/mm]
oder doch ganz anders?
Zu deiner eigentlichen Frage kann man jedoch jetzt schon sagen: eine solche Funktion ist nicht stetig. Du kannst also sicherlich nicht einfach eine Stammfunktion aufstellen und rechnen, sondern das bedarf gewisser Überlegungen. wie man auf geometrischem Weg zur Fläche zwischen x-Achse und Schaubild kommt (wenn man sich an den Sprungstellen noch senkrechte Berandungslinien 'dazudenkt').
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:01 Mo 20.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Habe ich das so
> > richtig verstanden:
>
> ich bin mir nicht ganz sicher, ich glaube aber: du hast es
> völlig falsch verstanden.
>
> Aber zunächst einmal zu deinen Schreibweisen:
>
> i). Du sprichst von der Gaußklammer und schreibst eckige
> Klammern. Das ist missverständlich, weil nicht wirklich
> klar ist, welche Version der Gaussklammer gemeint ist. So
> lange nichts anderslautendes gesagt wird, meint man die
> floor-Funktion und schreibt besser
>
> [mm]\left \lfloor x \right \rfloor[/mm]
>
> ii). Wie genau soll die Funktion aussehen?
>
> So:
>
> [mm]f_n(x)=\frac{1}{n}*\left \lfloor nx \right \rfloor[/mm]
>
> oder so:
>
> [mm]f_n(x)=\frac{1}{n*\left \lfloor nx \right \rfloor}[/mm]
>
> oder doch ganz anders?
>
> Zu deiner eigentlichen Frage kann man jedoch jetzt schon
> sagen: eine solche Funktion ist nicht stetig und damit
> nicht Riemann-integrierbar.
Hallo Diophant,
das stimmt aber nicht ! Stetig ist die Funktion nicht, hat aber nur endlich viele Unstetigkeitspunkte in [0,1] und ist damit R - intbar.
FRED
> Du kannst also sicherlich nicht
> einfach eine Stammfunktion aufstellen und rechnen, sondern
> das bedarf gewisser Überlegungen. wie man auf
> geometrischem Weg zur Fläche zwischen x-Achse und
> Schaubild kommt (wenn man sich an den Sprungstellen noch
> senkrechte Berandungslinien 'dazudenkt').
>
>
> Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:13 Mo 20.08.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
> das stimmt aber nicht ! Stetig ist die Funktion nicht, hat
> aber nur endlich viele Unstetigkeitspunkte in [0,1] und ist
> damit R - intbar.
>
> FRED
da hast du natürlich Recht, da habe ich mich vertan. Ich habe meinen Beitrag mal entsprechend abgeändert. Danke fürs Aufpassen. 
Gruß, Diophant
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>$ [mm] f_n(x)=\frac{1}{n}\cdot{}\left \lfloor nx \right \rfloor [/mm] $
Genau so steht es in meiner Angabe
>
> Zu deiner eigentlichen Frage kann man jedoch jetzt schon
> sagen: eine solche Funktion ist nicht stetig. Du kannst
> also sicherlich nicht einfach eine Stammfunktion aufstellen
> und rechnen, sondern das bedarf gewisser Überlegungen. wie
> man auf geometrischem Weg zur Fläche zwischen x-Achse und
> Schaubild kommt (wenn man sich an den Sprungstellen noch
> senkrechte Berandungslinien 'dazudenkt').
>
>
Ich bin leider schon komplett mit der Angabe überfordert. Es ist doch gemeint, dass x nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen darf. Oder? und diese dann auf die Funktion [mm] (f_n) [/mm] abbilden?
Wenn x also nur Werte Zwischen 0 und 1 annehmen kann, dann habe ich doch eine "Oberer Schranke bei 1:
Sprich: egal welche Werte ich in die Funktion einsetze ich bin nie größer als 1.
Andererseits gilt doch, wenn ich nun unendlich große n nehme, so wird mein Funktionswert immer kleiner. Also gegen 0. Das heißt sie hat endlichviele (zw. 0 und 1) Unstetigkeitspunkte, welche aber nicht genau hintereinander liegen. Das müsste mir aber egal sein da ich diese Riemann integrieren kann.
Aber nun zu ihrem angesprochenem geometrischem Wege. Wie soll ich dabei vorgehen?
Danke
Steffen
> Gruß, Diophant
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Hallo,
>
> >[mm] f_n(x)=\frac{1}{n}\cdot{}\left \lfloor nx \right \rfloor[/mm]
>
> Genau so steht es in meiner Angabe
Hm. Also ich sehe da schon einen Unterschied zu
[mm] f_n(x)=1/n[nx]
[/mm]
Du nicht?
> >
> > Zu deiner eigentlichen Frage kann man jedoch jetzt schon
> > sagen: eine solche Funktion ist nicht stetig. Du kannst
> > also sicherlich nicht einfach eine Stammfunktion aufstellen
> > und rechnen, sondern das bedarf gewisser Überlegungen. wie
> > man auf geometrischem Weg zur Fläche zwischen x-Achse und
> > Schaubild kommt (wenn man sich an den Sprungstellen noch
> > senkrechte Berandungslinien 'dazudenkt').
> >
> >
> Ich bin leider schon komplett mit der Angabe überfordert.
> Es ist doch gemeint, dass x nur Werte zwischen 0 und 1
> annehmen darf. Oder? und diese dann auf die Funktion [mm](f_n)[/mm]
> abbilden?
>
>
> Wenn x also nur Werte Zwischen 0 und 1 annehmen kann, dann
> habe ich doch eine "Oberer Schranke bei 1:
> Sprich: egal welche Werte ich in die Funktion einsetze ich
> bin nie größer als 1.
>
> Andererseits gilt doch, wenn ich nun unendlich große n
> nehme, so wird mein Funktionswert immer kleiner. Also gegen
> 0. Das heißt sie hat endlichviele (zw. 0 und 1)
> Unstetigkeitspunkte, welche aber nicht genau hintereinander
> liegen. Das müsste mir aber egal sein da ich diese Riemann
> integrieren kann.
>
> Aber nun zu ihrem angesprochenem geometrischem Wege. Wie
> soll ich dabei vorgehen?
Das war nur ein Denkanstoß. Vielleicht beginnst du mal damit, dir den Wertevorrat von
[mm]\left \lfloor n*x \right \rfloor[/mm]
für [mm] x\in[0;1] [/mm] klarzumachen.
Das ganze ist eine von diesen Aufgaben, wo man fast nichts rechnen muss, nur verstanden muss man sie haben, also insbesondere, was die Funktion [mm] f_n [/mm] 'macht'. Man muss da sozusagen eine Treppe zum Verständnis hin hinaufsteigen.
Gruß, Diophant
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> Hallo,
>
> >
> > >[mm] f_n(x)=\frac{1}{n}\cdot{}\left \lfloor nx \right \rfloor[/mm]
>
> >
> > Genau so steht es in meiner Angabe
>
> Hm. Also ich sehe da schon einen Unterschied zu
>
> [mm]f_n(x)=1/n[nx][/mm]
>
> Du nicht?
>
Ja, war ein Fehler meinerseits, sorry.....
>
> Das war nur ein Denkanstoß. Vielleicht beginnst du mal
> damit, dir den Wertevorrat von
>
> [mm]\left \lfloor n*x \right \rfloor[/mm]
>
> für [mm]x\in[0;1][/mm] klarzumachen.
Ok habe mir dies aufgezeichnet und sehe, dass (wie dein Tipp schon sagt) sich eine "Treppe" bildet. Aufgrunddessen, dass die Gaußklammer auf ganze Werte abrundet.
Bitte verbesser mich wenn folgendes Unsinn ist:
Da bei meiner Funktion noch das 1/n davor steht, komme ich aus dem Bereich von 0 und 1 nicht mehr heraus. Dadurch kann ich aber sagen, dass sich endlich viele Unstetigkeitspunkte bilden (wegen der Beschränktheit)
Ist dies nun der richtige Ansatz?
>
> Das ganze ist eine von diesen Aufgaben, wo man fast nichts
> rechnen muss, nur verstanden muss man sie haben, also
> insbesondere, was die Funktion [mm]f_n[/mm] 'macht'. Man muss da
> sozusagen eine Treppe zum Verständnis hin hinaufsteigen.
>
>
>
> Gruß, Diophant
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Hallo,
> Bitte verbesser mich wenn folgendes Unsinn ist:
>
> Da bei meiner Funktion noch das 1/n davor steht, komme ich
> aus dem Bereich von 0 und 1 nicht mehr heraus. Dadurch kann
> ich aber sagen, dass sich endlich viele Unstetigkeitspunkte
> bilden (wegen der Beschränktheit)
>
> Ist dies nun der richtige Ansatz?
ehrlich gesagt: es ist ein ziemliches Durcheinander. Die Tatsache, dass es endlich viele Unstetigkeitsstellen gibt, hat ja mit dem Vorfaktor nichts zu tun.
Ich habe dir ja schon einmal geraten: bestimme zunächst durch eine einfache Überlegung das Integral
[mm]\integral_{0}^{1}{\left \lfloor nx \right \rfloor dx}[/mm]
Als Fläche gedacht, besteht es aus n Streifen. Diese sind Rechtecke gleicher Breite, ihre Höhe ist durch die Funktion gegeben.
Man muss also im Prinzip nur diese Höhen aufaddieren und das ganze dann noch mit der Breite multiplizieren. Das Addieren der Höhen geschieht mit einer einschlägig bekannten Summenformel, und wenn man nachher das Eregbnis noch mit dem Vorfaktor 1/n multipliziert, kommt ein recht einfaches Eregebnis heraus, auf welches man eben mit der schon erwähnten geometrischen Überlegung ebenfalls kommen kann.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Di 21.08.2012 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
ergänzend zu Diophant's Beitrag:
Betrachte das Integral doch mal für unterschiedliche Werte von $ n $, also bsp. n=1,2,3,4,... Dann wirst du ziemlich schnell ein Muster im Ergebnis finden, was es Dir dann leicht macht den Wert des Integrals zu bestimmen.
LG
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Ok haben nun mal den Rat von euch beiden ( Diophant, MontBlanc) befolgt und komme auch folgendes Ergebniss:
n = 1 [mm] ;\integral_{0}^{1}{\lfloor 1x \rfloor dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{\lfloor 1 \rfloor dx} [/mm] = [mm] {{\lfloor x \rfloor }^1}_0 [/mm] = 1-0 = 1
n = 2 [mm] ;\integral_{0}^{1}{\lfloor 2x \rfloor dx} [/mm] = [mm] 2*\integral_{0}^{1}{\lfloor 1 \rfloor dx} [/mm] = [mm] 2*{{\lfloor x \rfloor }^1}_0 [/mm] = 2*(1-0) = 2
usw.... diese "streifen dann addieren, somit würde ich auf die Summenformel kommen Oder?
Noch das [mm] \bruch{1}{n} [/mm] davorstellen:
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \frac{n(n+1)}{2} [/mm] = [mm] \frac{(n+1)}{2}
[/mm]
hmmm....
Danke euch beiden
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Hallo,
hast Du Dir die Funktion mal aufgezeichnet ?
Nehmen wir mal den Fall n=2, dann ist $ [mm] f_{2}(x)=\frac{1}{2}\lfloor [/mm] 2*x [mm] \rfloor [/mm] $.
Betrachten wir nun unterschiedliche Werte von $ [mm] x\in[0,1] [/mm] $, dann ist [mm] f_{2}(x)=0 [/mm] für x=0, [mm] f_{2}(x)=0 [/mm] für $ [mm] 0
Dein erstes Rechteck geht also von 0 bis [mm] \frac{1}{2} [/mm] und hat höhe 0, für den flächeninhalt ergibt sich also für dieses erste Rechteck der Wert [mm] A_{1}=0. [/mm] Das zweite zu betrachtende Rechteck erstreckt sich dann von [mm] \frac{1}{2} [/mm] bis 1 und hat die höhe [mm] \frac{1}{2}. [/mm] Der Flächeninhalt ist also [mm] A_{2}=\frac{1}{2}*\frac{1}{2}=\frac{1}{4}. [/mm] Damit ist das Integral [mm] I=A_{1}+A_{2}=\frac{1}{4}.
[/mm]
Mach das mal für n=3 und n=4 - dann solltest du sehen, wo der Hase lang läuft.
LG
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ok habe dies für n=3 und n=4 gemacht
n=3
$ [mm] f_{3}(x)=\frac{1}{3}\lfloor 3\cdot{}x \rfloor [/mm] $.
[mm] f_{3}(x) [/mm] = 0, für x=0
[mm] f_{3}(x) [/mm] = 0, für 0< x< [mm] \bruch{1}{3} [/mm]
[mm] f_{3}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}, [/mm] für [mm] \bruch{1}{3} \le [/mm] x< [mm] \bruch{2}{3} [/mm]
[mm] f_{3}(x) [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}, [/mm] für [mm] \bruch{2}{3} \le [/mm] x< 1
Somit ergeben sich 3 Rechtecke
1) Hat Fläche 0 da die Höhe 0 ist
2) [mm] \bruch{1}{3} \cdot \bruch{1}{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{9}
[/mm]
3) [mm] \bruch{1}{3} \cdot \bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{9}
[/mm]
A= 3/9
n= 4
$ [mm] f_{4}(x)=\frac{1}{4}\lfloor 4\cdot{}x \rfloor [/mm] $.
[mm] f_{4}(x) [/mm] = 0, für x=0
[mm] f_{4}(x) [/mm] = 0, für 0< x< [mm] \bruch{1}{4} [/mm]
[mm] f_{4}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}, [/mm] für [mm] \bruch{1}{4} \le [/mm] x< [mm] \bruch{1}{2} [/mm]
[mm] f_{4}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] für [mm] \bruch{1}{2} \le [/mm] x< [mm] \bruch{3}{4} [/mm]
[mm] f_{3}(x) [/mm] = [mm] \bruch{3}{4}, [/mm] für [mm] \bruch{3}{4} \le [/mm] x< 1
Dass ergibt wieder 4 Rechtecke:
1) Hat Fläche 0 da die Höhe 0 ist
2) [mm] \bruch{1}{4} \cdot \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{16}
[/mm]
3) [mm] \bruch{1}{4} \cdot \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{8}
[/mm]
4) [mm] \bruch{1}{4} \cdot \bruch{3}{4} [/mm] = [mm] \bruch{3}{16}
[/mm]
Folglich A= [mm] \bruch{3}{8}
[/mm]
Wenn ich nun alle "3" Vergleiche sehe ich [mm] A_1< A_2
Aber ich stehe trotzdem noch auf der Leitung....
Danke für eure Hilfe
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Hallo,
schau doch mal wie sich das vierte Integral zusammensetzt. Du hast es ja richtig bestimmt:
[mm] I_{n=4}=\frac{1}{4}*\frac{1}{4}+\frac{1}{4}*\frac{1}{2}+\frac{1}{4}*\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}\right)
[/mm]
Mach das doch noch für n=3, dann wirst du glaube ich schnell ein muster finden (denk an die formel für die summer der ersten n natürlichen Zahlen  ).
LG
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Hallo,
> n = 1 [mm];\integral_{0}^{1}{\lfloor 1x \rfloor dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{1}{\lfloor 1 \rfloor dx}[/mm] = [mm]{{\lfloor x \rfloor }^1}_0[/mm]
> = 1-0 = 1
>
> n = 2 [mm];\integral_{0}^{1}{\lfloor 2x \rfloor dx}[/mm] =
> [mm]2*\integral_{0}^{1}{\lfloor 1 \rfloor dx}[/mm] = [mm]2*{{\lfloor x \rfloor }^1}_0[/mm]
> = 2*(1-0) = 2
>
Die obigen Rechnungen sind völlig sinnfrei: wir hatten das doch schon, dass man hier nicht einfach Schranken in eine Stammfunktion einsetzen kann.
Gruß, Diophant
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