Gaussparameter < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sind acht Wertepaare aus einer Gauß-Verteilten Grundmenge.
a) Schätzen Sie die Parameter [mm] \mu [/mm] und sigma der Gauß-Funktion
b) Ermitteln Sie die "besten" Parameter nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate
x y
150 888
151,8 854
154,8 1648
156,2 2261
157,2 2105
159 1455
160,8 1018
162,8 942 |
Hallo Leute, hab da ein Problem mit einer Aufgabe aus einer alten Statistik-Klausur. Es sind acht Wertepaare gegeben, die eine repräsentative Stichprobe aus einer Gauß-Verteilten Menge entnommen sind. Hat jemand eine Idee? Das Schätzen ist ja nicht so schlimm, aber Teilaufgabe b) macht mir Probleme...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
deine Gauß-Funktion heißt ja
$f(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}*\sigma}*e^{-\bruch{1}{2}*(\bruch{x-\mu}{\sigma})^2}$
[/mm]
Daraus bildest Du nun deine Funktion der kleinsten Fehlerquadrate:
$S = [mm] \sum_{i=1}^{8} (y_i [/mm] - [mm] f(x_i))^2 [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{8} \left(y_i - \bruch{1}{\wurzel{2\pi}*\sigma}*e^{-\bruch{1}{2}*(\bruch{x_i-\mu}{\sigma})^2}\right)^2$
[/mm]
Diese Funktion musst Du nun partiell nach [mm] $\sigma$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] ableiten und diese Ableitungen gleich Null setzen. Aus diesen Bedingungen erhältst Du dann dein [mm] $\sigma$ [/mm] und dein [mm] $\mu$.
[/mm]
Ich mache es dir einmal für einen Parameter vor:
[mm] $\bruch{\partial S}{\partial \mu} [/mm] = [mm] 2*\sum_{i=1}^{8} \left(y_i - \bruch{1}{\wurzel{2\pi}*\sigma}*e^{-\bruch{1}{2}*(\bruch{x_i-\mu}{\sigma})^2}\right)*\left(-\bruch{1}{\wurzel{2\pi}*\sigma}*e^{-\bruch{1}{2}*(\bruch{x_i-\mu}{\sigma})^2}\right)*\left(-\bruch{x_i-\mu}{\sigma} \right)*\left(\bruch{-1}{\sigma} \right)= [/mm] 0$
Wenn Du dir nun überlegst, welcher der Faktoren denn Null werden kann, kommst Du auf:
[mm] $\sum_{i=1}^{8}\left(\bruch{x_i-\mu}{\sigma} \right) [/mm] = 0$
, was bedeutet
[mm] $\sum_{i=1}^{8}x_i [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{8}\mu [/mm] = [mm] 8*\mu$
[/mm]
, also
[mm] $\mu [/mm] = [mm] \bruch{1}{8}\sum_{i=1}^{8}x_i [/mm] = 156,575$
Bei der Ableitung nach dem Parameter [mm] $\sigma$ [/mm] musst Du neben der Kettenregel auch die Produktregel benutzen:
[mm] $\bruch{\partial S}{\partial \sigma} [/mm] = [mm] 2*\sum_{i=1}^{8} \left(y_i - \bruch{1}{\wurzel{2\pi}*\sigma}*e^{-\bruch{1}{2}*(\bruch{x_i-\mu}{\sigma})^2}\right)*\left(\bruch{1}{\wurzel{2\pi}*\sigma^2}*e^{-\bruch{1}{2}*(\bruch{x_i-\mu}{\sigma})^2}-\bruch{1}{\wurzel{2\pi}*\sigma}*e^{-\bruch{1}{2}*(\bruch{x_i-\mu}{\sigma})^2}*\left(-\bruch{x_i-\mu}{\sigma} \right)*\left(-\bruch{x_i-\mu}{\sigma^2} \right)\right)= [/mm] 0$
D. h., die Ableitung wird Null wenn
[mm] $\sum_{i=1}^{8} \bruch{1}{\sigma^2} [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{8} \bruch{1}{\sigma^4}*(x_i-\mu)^2$
[/mm]
[mm] $\sum_{i=1}^{8} \sigma^2 [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{8} (x_i-\mu)^2$
[/mm]
$8* [mm] \sigma^2 [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{8} (x_i-\mu)^2$
[/mm]
[mm] $\sigma [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{8}*\sum_{i=1}^{8} (x_i-\mu)^2}=4,065$
[/mm]
So ich mich nicht verrechnet habe.
LG, Martinius
P.S. Es wäre eigentlich korrekt, deine Funktion als noch von einem Parameter a abhängig darstellen:
$y(x) = [mm] \bruch{a}{\wurzel{2\pi}*\sigma}*e^{-\bruch{1}{2}*(\bruch{x-\mu}{\sigma})^2}$
[/mm]
Dementsprechend deine Fehlerfunktion:
[mm] $S(\mu, \sigma, [/mm] a) = [mm] \sum_{i=1}^{8} (y_i [/mm] - [mm] f(x_i))^2 [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{8} \left(y_i - \bruch{a}{\wurzel{2\pi}*\sigma}*e^{-\bruch{1}{2}*(\bruch{x_i-\mu}{\sigma})^2}\right)^2$
[/mm]
Wenn Du noch den Parameter a ermitteln willst, leitest Du wie gehabt partiell nach a ab und erhältst dann
$y(x) [mm] \approx 21101*\bruch{1}{\wurzel{2\pi}*\sigma}*e^{-\bruch{1}{2}*(\bruch{x-\mu}{\sigma})^2}$
[/mm]
|
|
|
| |
|
Vielen DANK für die schnelle Antwort!!! Das hilft mir doch schonmal sehr weiter 
|
|
|
|
