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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:35 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | Welche komplexen Zahlen z=x+yi erfüllen die folgende Gleichung?
|z-2|=iz+4 |
Hallo,
ich habe |z-2| zu [mm] \wurzel{(x-2)^{2}+y{2}} [/mm] umgeschrieben und iz+4 zu -y+xi+4 so nun dachte ich mir, dass man die Gleichung quadrieren muss um die Wurzel von [mm] \wurzel{(x-2)^{2}+y{2}} [/mm] aufzulösen aber bei [mm] (-y+xi+4)^{2} [/mm] kommen extrems komische Sachen wie xyi raus womit ich garnix anfangen kann. Also muss man es wohl irgendwie anderes machen, aber wie ?
gruß andi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Mi 22.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
erst denken, dann rechnen!
|z-2| ist ne reelle Zahl, was folgt daraus für iz+4?
ab dann darfst du rechnen
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
hmm mir fällt nix dazu ein, dass nen Betrag keinen imaginären Teil und somit nicht komplex ist, hätt mir schon gedacht. Aber was daraus für die andere Seite folgt, weiß ich nicht.
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Hallo Infoandi,
> hmm mir fällt nix dazu ein, dass nen Betrag keinen
> imaginären Teil und somit nicht komplex ist, hätt mir
> schon gedacht. Aber was daraus für die andere Seite folgt,
> weiß ich nicht.
Na, dann muss die rechte Seite doch wohl auch reell sein, also muss insbesondere [mm] $iz\in\IR$ [/mm] sein, also muss $z=...$ sein...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
Ok aber was mich verunsichert, ist die Frage warum iz reel ist. Denn wenn man iz ausmultipliziert kommt man doch auf xi-y (also iz=i(x+yi) )
Ich weiß nun immernoch nicht, wie ich darauf auf "z=. . ." schlussfolgern kann.
Grüße und danke für die hilfreichen Antworten bis jetzt :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Mi 22.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wann ist die Zahl ix-y+4 reell? wenn x,y reell sind
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
wenn x=i ist oder wenn x=0 ist und [mm] y\not=i [/mm] ist
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
jetzt weiß ich, dass |z-2| reel ist und iz+4 reel ist wenn x,y reel sind und wie bestimm ich jetzt die komplexen Zahlen z=x+yi die die Gleichung erfüllen ?
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Hallo Infoandi,
> jetzt weiß ich, dass |z-2| reel ist und iz+4 reel ist wenn
> x,y reel sind und wie bestimm ich jetzt die komplexen
> Zahlen z=x+yi die die Gleichung erfüllen ?
Aus dem Wissen, daß i*z+4 reell sein muss,
läßt sich ein Teil der komplexen Zahl festlegen.
Den anderen Teil der komplexen Zahl bekommst Du,
wenn Du die Gleichung
[mm]\vmat{z-2}=iz+4[/mm]
quadrierst.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
tut mir leid aber ich steh mit nem Brett vorm Kopf aufm Schlauch während ich den Wald zwischen lauter Bäumen suche.
Eine Gleichung kann doch nicht reell sein, solange i in der Gleichung auftaucht oder ? Während ich das geschrieben habe, hatte ich glaube ich einen Geistesblitz, da i*z+4 reell sein muss x=0 danach wandel ich die Gleichung |z-2|=i*z+4 in [mm] \wurzel{(x-2)^{2}+{y}^{2}}=i*(x+yi)+4 [/mm] um und setze für x=0 ein und bestimme so y ?
Das hab ich einfach mal eben gemacht und komme auf y=3/2 was heißen würde das [mm] z=0+\bruch{3}{2}i [/mm] ist.
ich hoffe so ist es endlich richtig :D
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Hallo Infoandi,
> tut mir leid aber ich steh mit nem Brett vorm Kopf aufm
> Schlauch während ich den Wald zwischen lauter Bäumen
> suche.
>
> Eine Gleichung kann doch nicht reell sein, solange i in der
> Gleichung auftaucht oder ? Während ich das geschrieben
> habe, hatte ich glaube ich einen Geistesblitz, da i*z+4
> reell sein muss x=0 danach wandel ich die Gleichung
> |z-2|=i*z+4 in [mm]\wurzel{(x-2)^{2}+{y}^{2}}=i*(x+yi)+4[/mm] um und
> setze für x=0 ein und bestimme so y ?
> Das hab ich einfach mal eben gemacht und komme auf y=3/2
> was heißen würde das [mm]z=0+\bruch{3}{2}i[/mm] ist.
>
> ich hoffe so ist es endlich richtig :D
Ja, das ist so richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Infoandi |
juhu vielen dank euch allen :D
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> Welche komplexen Zahlen z=x+yi erfüllen die folgende
> Gleichung?
> |z-2|=iz+4
> Hallo,
> ich habe |z-2| zu [mm]\wurzel{(x-2)^{2}+y{2}}[/mm] umgeschrieben
> und iz+4 zu -y+xi+4 so nun dachte ich mir, dass man die
> Gleichung quadrieren muss um die Wurzel von
> [mm]\wurzel{(x-2)^{2}+y{2}}[/mm] aufzulösen aber bei [mm](-y+xi+4)^{2}[/mm]
> kommen extrems komische Sachen wie xyi raus womit ich
> garnix anfangen kann. Also muss man es wohl irgendwie
> anderes machen, aber wie ?
>
> gruß andi
Hallo Andi,
setze z=x+i*y , beachte den Hinweis von Leduart und
rechne dann weiter !
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Mi 22.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Welche komplexen Zahlen z=x+yi erfüllen die folgende
> Gleichung?
> |z-2|=iz+4
> Hallo,
> ich habe |z-2| zu [mm]\wurzel{(x-2)^{2}+y{2}}[/mm] umgeschrieben
> und iz+4 zu -y+xi+4 so nun dachte ich mir, dass man die
> Gleichung quadrieren muss um die Wurzel von
> [mm]\wurzel{(x-2)^{2}+y{2}}[/mm] aufzulösen aber bei [mm](-y+xi+4)^{2}[/mm]
> kommen extrems komische Sachen wie xyi raus womit ich
> garnix anfangen kann. Also muss man es wohl irgendwie
> anderes machen, aber wie ?
>
> gruß andi
so als kleine "Rechenübung" finde ich Dein Vorgehen gar nicht so schlimm:
Mit $z=x+iy [mm] \in \IC\,,$ [/mm] wobei [mm] $x=\Re(z), y=\Im(z) \in \IR$ [/mm] folgt
[mm] $$|z-2|=iz+4\,$$
[/mm]
[mm] $$\blue{\Rightarrow} (x-2)^2+y^2=((4-y)+ix)^2$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (x-2)^2+y^2=(4-y)^2-x^2+i(2x(4-y))$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \{(4-y)^2-x^2-(x-2)^2-y^2\}+i\{2x(4-y)\}=0\,.$$
[/mm]
Da eine komplexe Zahl genau dann verschwindet, wenn dies sowohl der Real- als auch der Imaginärteil tun, folgt (weil oben nur [mm] $\blue{\Rightarrow}$ [/mm] steht!), dass für $|z-2|=iz+4$ notwendigerweise die beiden Gleichungen (in den reellen Variablen [mm] $x,y\,$) [/mm] erfüllt sein müssen
1. [mm] $(4-y)^2-x^2-(x-2)^2-y^2=0$ [/mm] und
2. [mm] $2x(4-y)=0\,.$
[/mm]
Weil das so nur notwendige Bedingungen sind, musst Du auch nochmal [mm] $\Leftarrow$ [/mm] durchführen - was nichts anderes heißt, als, dass Du für die mit 1. und 2. berechneten Lösungen "die Probe" machen musst.
Gruß,
Marcel
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