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| Aufgabe | Bestimmen Sie für die unten angegebenen linearen Gleichungssysteme A*x=b den Nullraum N(A) (durch Angabe einer Basis) und die Lösungsmenge L(A,b) mit Hilfe des Gaußschen Algorithmus
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2*x_{2} [/mm] - [mm] 3*x_{3} [/mm] = 2
[mm] x_{1} [/mm] + 4* [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 4
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{5}*x_{2} [/mm] - [mm] 2*x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] + [mm] 3*x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] = 3 |
Lösungsansatz:
1 2 3 | 2
1 4 1 | 4
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] 2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm] || Z.2 minus Z.4
1 3 1 | 3
1 2 3 | 2
0 1 0 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] 2| [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
1 3 1 | 3 || Z.4 minus 3* Z.2
1 2 3 | 2 || Z.1 minus 2* Z.2
0 1 0 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] 2 | [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
1 0 1 | 0
1 0 3 | 0
0 1 0 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] 2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm] || Z.3 minus Z.1
1 0 1 | 0
1 0 3 | 0 || Z.1 minus Z.4
0 1 0 | 1
0 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] 1 | [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
1 0 1 | 0
0 0 2 | 0
0 1 0 | 1
0 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] 1 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm] || *10 || Z.3 minus 5*Z.1
1 0 1 | 0
0 0 2 | 0
0 1 0 | 1
0 2 0 | 25 || Z.3 minus 2*Z.2
1 0 1 | 0
0 0 2 | 0 || * 0.5
0 1 0 | 1
0 0 0 | 23
1 0 1 | 0 || Z.4 minus Z. 1
0 0 1 | 0
0 1 0 | 1 || Z.3 mit Z.4 vertauschen
0 0 0 | 23
1 0 0 | 0
0 0 1 | 0 || Z.1 mit Z.3 vertauschen
0 1 0 | 1
1 0 0 | 0
0 0 0 | 23
1 0 0 | 0
0 1 0 | 1
0 0 1 | 0
0 0 0 |23
so die L(A,b) = leere Menge
ist das bis hier hin korrekt?
aber wie bestimme ich nun den Nullraum? wäre echt voll lieb, wenn mir das einer erklären könntne!
Liebe Grüße!!!
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Hallo blueberrystick,
> Bestimmen Sie für die unten angegebenen linearen
> Gleichungssysteme A*x=b den Nullraum N(A) (durch Angabe
> einer Basis) und die Lösungsmenge L(A,b) mit Hilfe des
> Gaußschen Algorithmus
>
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]2*x_{2}[/mm] - [mm]3*x_{3}[/mm] = 2
> [mm]x_{1}[/mm] + 4* [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 4
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]\bruch{1}{5}*x_{2}[/mm] - [mm]2*x_{3}[/mm] = [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> [mm]x_{1}[/mm] + [mm]3*x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}[/mm] = 3
> Lösungsansatz:
>
>
> 1 2 3 | 2
> 1 4 1 | 4
> 1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] 2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm] || Z.2 minus Z.4
> 1 3 1 | 3
>
Da sind beim Abschreiben ein paar Fehler unterlaufen:
[mm]+1 \ +2 \ \red{-}3 \left\right| \ +2[/mm]
[mm]+1 \ +4 \ +1 \left\right| \ +4[/mm]
[mm] +1 \ +\bruch{1}{5} \ \red{-}2 \left\right| \ +\bruch{5}{2}[/mm]
[mm] +1 \ +3 \ \red{-}1 \left\right| \ +3[/mm]
>
> 1 2 3 | 2
> 0 1 0 | 1
> 1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] 2| [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> 1 3 1 | 3 ||
> Z.4 minus 3* Z.2
>
>
> 1 2 3 | 2 ||
> Z.1 minus 2* Z.2
> 0 1 0 | 1
> 1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] 2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> 1 0 1 | 0
>
>
> 1 0 3 | 0
> 0 1 0 | 1
> 1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] 2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm] || Z.3 minus Z.1
> 1 0 1 | 0
>
>
> 1 0 3 | 0 ||
> Z.1 minus Z.4
> 0 1 0 | 1
> 0 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] 1 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> 1 0 1 | 0
>
>
> 0 0 2 | 0
> 0 1 0 | 1
> 0 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] 1 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm] || *10 || Z.3
> minus 5*Z.1
> 1 0 1 | 0
>
>
> 0 0 2 | 0
> 0 1 0 | 1
> 0 2 0 | 25 ||
> Z.3 minus 2*Z.2
> 1 0 1 | 0
>
>
> 0 0 2 | 0
> || * 0.5
> 0 1 0 | 1
> 0 0 0 | 23
> 1 0 1 | 0
> || Z.4 minus Z. 1
>
>
> 0 0 1 | 0
> 0 1 0 | 1
> || Z.3 mit Z.4 vertauschen
> 0 0 0 | 23
> 1 0 0 | 0
>
>
> 0 0 1 | 0 ||
> Z.1 mit Z.3 vertauschen
> 0 1 0 | 1
> 1 0 0 | 0
> 0 0 0 | 23
>
>
> 1 0 0 | 0
> 0 1 0 | 1
> 0 0 1 | 0
> 0 0 0 |23
>
>
>
>
>
> so die L(A,b) = leere Menge
>
> ist das bis hier hin korrekt?
>
Siehe oben.
Das mußt nochmal nachrechnen.
>
> aber wie bestimme ich nun den Nullraum? wäre echt voll
> lieb, wenn mir das einer erklären könntne!
>
>
> Liebe Grüße!!!
Gruß
MathePower
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1 2 -3 | 2
1 4 1 | 4 ||Z.2 minus Z.4
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] -2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]
1 3 -1 | 3
1 2 -3 | 2 | Z.1 plus Z.2
0 1 2 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] -2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm]
1 3 -1 | 3
1 3 -1 | 3
0 1 2 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] -2 | [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
1 3 -1 | 3 | Z.4 minus Z.1
1 3 -1 | 3
0 1 2 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] -2 | [mm] \bruch{5}{2}
[/mm]
0 0 0 | 0
bis hier hin komme ich weiter und dann fehlt mir irgendwie die idee, um den Term zu lösen.
Ich hoffe Du oder kmd anders kann mir dabei helfen!
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Hallo blueberrystick,
> 1 2 -3 | 2
> 1 4 1 | 4 ||Z.2 minus Z.4
> 1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] -2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> 1 3 -1 | 3
>
>
> 1 2 -3 | 2 | Z.1 plus Z.2
> 0 1 2 | 1
> 1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] -2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> 1 3 -1 | 3
>
>
> 1 3 -1 | 3
> 0 1 2 | 1
> 1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] -2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> 1 3 -1 | 3 | Z.4 minus Z.1
>
>
> 1 3 -1 | 3
> 0 1 2 | 1
> 1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] -2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm]
> 0 0 0 | 0
>
>
> bis hier hin komme ich weiter und dann fehlt mir irgendwie
> die idee, um den Term zu lösen.
Zunächst mußt Du die 1 in der 3.Zeile eliminieren.
Dann hast Du in der 1. Spalte eine 1 und sonst lauter Nullen stehen.
Mit den verbliebenen Gleichungen verfährst Du ähnlich.
>
>
> Ich hoffe Du oder kmd anders kann mir dabei helfen!
>
Gruß
MathePower
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ich komme irgendwie nicht wirklich weiter! Könntest du mir den Lösungsschritt bitte aufschreiben, das wäre echt nett von Dir!
Liebe Grüße!
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ich habe noch einen Versuch gestartet, der hoffentlich erfolgreich ist!
1 3 -1 | 3
0 1 2 | 1
1 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] -2 | [mm] \bruch{5}{2} [/mm] | Z.3 minus Z.1
0 0 0 | 0
1 3 -1 |3
0 1 2 |1 | Z.2 plus 2* Z.3
0 [mm] 2\bruch{4}{5} [/mm] -1 | - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
0 0 0 | 0
1 3 -1 | 3
0 [mm] 6\bruch{3}{5} [/mm] 0 | 0 | / [mm] 6\bruch{3}{5}
[/mm]
0 [mm] 2\bruch{4}{5} [/mm] -1 | - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] | Z.3 minus [mm] 2\bruch{4}{5} [/mm] * Z.2
0 0 0 | 0
1 3 -1 | 3
0 1 0 | 0
0 0 -1 | - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] | *-1
0 0 0 | 0
1 3 -1 | 3 |Z.1 minus 3*Z.2 | Z.1 plus Z.3
0 1 0 | 0
0 0 1 | [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
0 0 0 | 0
1 0 0 | [mm] 3\bruch{1}{2}
[/mm]
0 1 0 | 0
0 0 1 | [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
0 0 0 | 0
soweit richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 So 09.11.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo blueberrystick,
> ich habe noch einen Versuch gestartet, der hoffentlich
> erfolgreich ist!
>
>
> 1 3 -1 | 3
> 0 1 2 | 1
> 1 [mm]\bruch{1}{5}[/mm] -2 | [mm]\bruch{5}{2}[/mm] | Z.3 minus Z.1
> 0 0 0 | 0
>
> 1 3 -1 |3
> 0 1 2 |1 | Z.2 plus 2* Z.3
> 0 [mm]2\bruch{4}{5}[/mm] -1 | - [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> 0 0 0 | 0
>
> 1 3 -1 | 3
> 0 [mm]6\bruch{3}{5}[/mm] 0 | 0 | / [mm]6\bruch{3}{5}[/mm]
> 0 [mm]2\bruch{4}{5}[/mm] -1 | - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] | Z.3 minus
> [mm]2\bruch{4}{5}[/mm] * Z.2
> 0 0 0 | 0
>
> 1 3 -1 | 3
> 0 1 0 | 0
> 0 0 -1 | - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] | *-1
> 0 0 0 | 0
>
>
> 1 3 -1 | 3 |Z.1 minus 3*Z.2 | Z.1 plus Z.3
> 0 1 0 | 0
> 0 0 1 | [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> 0 0 0 | 0
>
> 1 0 0 | [mm]3\bruch{1}{2}[/mm]
> 0 1 0 | 0
> 0 0 1 | [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> 0 0 0 | 0
>
> soweit richtig?
Perfekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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Hallo blueberrystick,
> ich komme irgendwie nicht wirklich weiter! Könntest du mir
> den Lösungsschritt bitte aufschreiben, das wäre echt nett
> von Dir!
Wir haben bis jetzt folgendes System:
[mm]\left\begin{matrix}1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & \bruch{1}{5} & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix}3 \\ 1 \\ \bruch{5}{2} \\ 0\end{matrix}[/mm]
Nun addieren wir zur 3. Zeile das (-1)-fache der 1. Zeile und erhalten:
[mm]\left\begin{matrix}1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -\bruch{14}{5} & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix}3 \\ 1 \\ -\bruch{1}{2} \\ 0\end{matrix}[/mm]
Jetzt kannst Du sicher auch dafür sorgen, daß die [mm]-\bruch{14}{5}[/mm] verschwindet.
>
>
> Liebe Grüße!
Gruß
MathePower
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Ich wollte Dir nur noch einmal für deine Gedult und Hilfe danken!!!
Liebe Grüße!
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