Gaußscher Integralsatz im Raum < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | V sei ein abgeschlossenes Volumen, begrenzt durch die Oberfläche S. Integrieren Sie die nachfolgenden 3-D Größen über V durch Transformation des Integranden zu einem Oberflächenintegral über die Grenzfläche S. Schreiben sie die Lösung in möglichst einfacher Vektor und/oder Indize Darstellung.
a) [mm] grad\Phi [/mm] b) div [mm] \vec{v} [/mm] c) [mm] \nabla^2\Phi [/mm] d) [mm] \nabla \times\vec{v} [/mm] |
Hallo,
wäre sehr dankbar über Hilfe mit der obigen Aufgabe.
Problem hab ich gleich bei Aufgabenteil a). Aus der Aufgabenstellung geht schon mal hervor, dass es auf den Gaußschen Integralsatz hinausläuft.
Für ein Skalarfeld schaut der Gaußsche Integralsatz dann so aus, wobei [mm] \Phi_{(x,y,z)} [/mm] weil 3D:
[mm] \integral_{V}^{}{\bruch{\partial\Phi}{\partial x_{k}} dV}=\integral_{S}^{}{\Phi\vec{n_{k}}dS}
[/mm]
Laut Aufgabenstellung soll die rechte Seite evaluiert werden:
[mm] \integral_{S}^{}{\Phi_{(x,y,z)\vec{n_{k}}dS}}=\integral_{S}^{}{\Phi_{(x,y,z)\vec{n_{x}}dydz}}+\integral_{S}^{}{\Phi_{(x,y,z)\vec{n_{y}}dxdz}}+\integral_{S}^{}{\Phi_{(x,y,z)\vec{n_{z}}dxdy}}
[/mm]
Bin ich überhaupt auf dem richtigen Dampfer oder ist das alles total falsch? Wie gehts dann weiter? muss partiell integriert werden?
Vielen Dank,
Bernd
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Schade, dass keine helfen kann...
Habs nochmal probiert und bin mir immer noch nicht sicher. Aber die Hoffnung stirbt zuletzt.
Erstmal am Beispiel eines 2D Falles eines Rechtecks im Koordinatenursprung.
Im 2D lautet der Gaußsche Integralsatz (bzw. Satz von Green):
in x:
[mm] \integral_{R}^{}{\bruch{\partial\Phi}{\partial x}dA}=\integral_{C}^{}{\Phi n_{x} ds}
[/mm]
in y:
[mm] \integral_{R}^{}{\bruch{\partial\Phi}{\partial y}dA}=\integral_{C}^{}{\Phi n_{y} ds}
[/mm]
und für ein Rechteck wäre die rechte Seite der obigen Gleichung:
[mm] \summe_{i=1}^{m}\integral_{C}^{}{\Phi n_{x} ds}
[/mm]
bzw für x:
[mm] \summe_{i=1}^{m}\integral_{C}^{}{\Phi n_{y} ds}
[/mm]
wobei m die Anzahl der das Rechteck eingrenzenden Linien ist, also 4 in diesem Fall.
Könnte ich von hier dann nicht auf die Lösung für Aufgabenteil a) der Originalaufgabe im 3D für die linke Seite schreiben:
[mm] \summe_{i=1}^{m}\integral_{S}^{}{\Phi n_{k} dA}
[/mm]
Wobei das Integral ein Doppelintegral ist und m wieder die Anzahl der Flächen.
Kann das jemand bestätigen oder widerlegen bitte??
Gruß
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 28.04.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 28.04.2014 | | Autor: | matux |
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