Gaußscher Satz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:13 Fr 04.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
| Aufgabe | Sei Y := [mm] {(x,y)\in\IR^2: 0 \le x \le 1 , 0\le y \le 1} [/mm] und f(x,y)= [mm] \vektor{xy+1 \\ -e^y}
[/mm]
Berechnen Sie
[mm] \integral_{\partial Y}^{} [/mm] <f(r(t)),n(r(t))> dt (soll ein Skalar sein)
als Kurvenintegral und mit Hilfe des Gaußschen Satzes (n ist der nach außen weisende Einheitsnormalenvektor und r(t) ist eine Parametrisierung des Randes [mm] \partial [/mm] Y) |
ich habs erstmal nur mit den Gaußschen Satz gelöst(glaub ich zumindest^^)
[mm] \integral_{\partial Y}^{} [/mm] <f(r(t)),n(r(t))> dt = [mm] \integral_{Y}^{} [/mm] div f(x,y) dx dy
div f(x,y) = y
[mm] \integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1} [/mm] y dx dy = 1
ist das so Richtig ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei Y := [mm]{(x,y)\in\IR^2: 0 \le x \le 1 , 0\le y \le 1}[/mm] und
> f(x,y)= [mm]\vektor{xy+1 \\ -e^y}[/mm]
>
> Berechnen Sie
> [mm]\integral_{\partial Y}^{}[/mm] <f(r(t)),n(r(t))> dt (soll ein
> Skalar sein)
>
> als Kurvenintegral und mit Hilfe des Gaußschen Satzes (n
> ist der nach außen weisende Einheitsnormalenvektor und
> r(t) ist eine Parametrisierung des Randes [mm]\partial[/mm] Y)
> ich habs erstmal nur mit den Gaußschen Satz gelöst(glaub
> ich zumindest^^)
>
> [mm]\integral_{\partial Y}^{}[/mm] <f(r(t)),n(r(t))> dt =
> [mm]\integral_{Y}^{}[/mm] div f(x,y) dx dy
>
> div f(x,y) = y
Das ist falsch. div f(x,y) = [mm] y-e^y
[/mm]
>
> [mm]\integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1}[/mm] y dx dy = 1
auch das ist falsch.
[mm]\integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1}[/mm] y dx dy = 1/2
fred
>
> ist das so Richtig ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Fr 04.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
da ist mir wohl beim differenzieren was schief gelaufen^^ hab das [mm] e^y [/mm] als [mm] e^x [/mm] gesehen xD
[mm]\integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1}[/mm] [mm] y-e^y [/mm] dx dy = [mm] \bruch{3}{2}-e
[/mm]
ist das so Richtig ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:55 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> da ist mir wohl beim differenzieren was schief gelaufen^^
> hab das [mm]e^y[/mm] als [mm]e^x[/mm] gesehen xD
>
>
> [mm]\integral_{0}^{1} \integral_{0}^{1}[/mm] [mm]y-e^y[/mm] dx dy =
> [mm]\bruch{3}{2}-e[/mm]
>
> ist das so Richtig ?
Nein. Wo kommt bruch{3}{2} her ???
Edit: doch es stimmt.
FRED
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Fr 04.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
> Nein. Wo kommt bruch{3}{2} her ???
>
> FRED
der bruch kommt von [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] [mm]y-e^y[/mm] dy
das ergebnis ist doch hier [mm] |y^2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} -e^y|_0^1 [/mm] = [mm] |0^2 [/mm] * [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] e^0 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] e^1| [/mm] = |-1 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - e| = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] - e
und nach x integriert ist ja nur noch mal 1 und das verändert ja nichts mehr
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Fr 04.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Nein. Wo kommt bruch{3}{2} her ???
> >
> > FRED
>
> der bruch kommt von [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] [mm]y-e^y[/mm] dy
>
> das ergebnis ist doch hier [mm]|y^2[/mm] * [mm]\bruch{1}{2} -e^y|_0^1[/mm] =
> [mm]|0^2[/mm] * [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]e^0[/mm] - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]e^1|[/mm] = |-1 -
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] - e| = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] - e
>
> und nach x integriert ist ja nur noch mal 1 und das
> verändert ja nichts mehr
Du hast völlig recht. Ich hab nicht genau hingesehen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Fr 04.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
Hat einer vielleicht noch einen tipp für das Kurvenintegral ?
@Fred97 kein Ding
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Gegenfrage: was ist denn das Problem mit dem Kurvenintegral?
Du kannst leicht [mm] $\partial [/mm] Y$ parametrisieren, die äussere Normale angeben und das Skalarprodukt berechnen.
gruss
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Sa 05.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
> Gegenfrage: was ist denn das Problem mit dem
> Kurvenintegral?
eigentlich nichts^^ (hab schon viele gemacht aber die waren ihrgend wie leichter^^)
> Du kannst leicht [mm]\partial Y[/mm] parametrisieren, die äussere
> Normale angeben und das Skalarprodukt berechnen.
das ist der punkt ich verstehe einfach nicht wie ich den Weg Parametrisieren soll da der weg ein rechteck ist
wurde das [t,t] als parametrisierung druch gehen^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Sa 05.11.2011 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> > Gegenfrage: was ist denn das Problem mit dem
> > Kurvenintegral?
>
> eigentlich nichts^^ (hab schon viele gemacht aber die waren
> ihrgend wie leichter^^)
>
> > Du kannst leicht [mm]\partial Y[/mm] parametrisieren, die äussere
> > Normale angeben und das Skalarprodukt berechnen.
>
>
> das ist der punkt ich verstehe einfach nicht wie ich den
> Weg Parametrisieren soll da der weg ein rechteck ist
>
> wurde das [t,t] als parametrisierung druch gehen^^
damit hast Du eine Gerade durch den Ursprung mit einem Winkel von 45° zur Abszisse parametrisiert.
Versuch mal, das Rechteck in vier Teilstücke aufteilen und diese dann zu parametrisieren.
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Sa 05.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
hmm meinst du es vielleicht so
[mm] \gamma_1 [/mm] = [0,t] [mm] \Rightarrow [/mm] ableitung [mm] \gamma_1 [/mm] = [0,1] => [mm] n_1 [/mm] = [1,0]
[mm] \gamma_2 [/mm] = [1,t] [mm] \Rightarrow [/mm] ableitung [mm] \gamma_2 [/mm] = [1,0] => [mm] n_2 [/mm] = [1,0]
[mm] \gamma_3 [/mm] = [t,1] [mm] \Rightarrow [/mm] ableitung [mm] \gamma_3 [/mm] = [0,1] => [mm] n_3 [/mm] = [0,1]
[mm] \gamma_4 [/mm] = [t,0] [mm] \Rightarrow [/mm] ableitung [mm] \gamma_4 [/mm] = [0,1] => [mm] n_4 [/mm] = [0,1]
mit [mm] t\in[0,1]
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{ \vektor{1 \\ -e^t}.\vektor{1 \\ 0} dt}+\integral_{0}^{1}{ \vektor{t+1 \\ -e^t}. \vektor{1 \\ 0}dt}+\integral_{0}^{1}{ \vektor{t+1 \\ -e}.\vektor{0 \\ 1}dt}+\integral_{0}^{1}{\vektor{1 \\ -1}.\vektor{0 \\ 1} dx}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{1}{1+ (t+1)-e -1 dt} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} [/mm] -e
das ergebniss stimmt stimmt aber auch der rechen weg^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:05 Sa 05.11.2011 | | Autor: | notinX |
> hmm meinst du es vielleicht so
>
> [mm]\gamma_1[/mm] = [0,t] [mm]\Rightarrow[/mm] ableitung [mm]\gamma_1[/mm] = [0,1] =>
> [mm]n_1[/mm] = [1,0]
> [mm]\gamma_2[/mm] = [1,t] [mm]\Rightarrow[/mm] ableitung [mm]\gamma_2[/mm] = [1,0] =>
> [mm]n_2[/mm] = [1,0]
> [mm]\gamma_3[/mm] = [t,1] [mm]\Rightarrow[/mm] ableitung [mm]\gamma_3[/mm] = [0,1] =>
> [mm]n_3[/mm] = [0,1]
> [mm]\gamma_4[/mm] = [t,0] [mm]\Rightarrow[/mm] ableitung [mm]\gamma_4[/mm] = [0,1] =>
> [mm]n_4[/mm] = [0,1]
>
> mit [mm]t\in[0,1][/mm]
>
Ja, im Prinzip meinte ich das so, aber das parametrisiert auch nicht das richtige Rechteck.
[mm] $\gamma_1$ [/mm] und [mm] $\gamma_2$ [/mm] stimmen.
Der Startpunkt des dritten Integrationsweges ist $(1,1)$. Wenn Du aber $t=0$ in Dein [mm] $\gamma_3$ [/mm] einsetzt, bist Du nicht bei $(1,1)$. Bei [mm] $\gamma_4$ [/mm] das gleiche Problem.
Bedenke auch, dass Du wenn Du einmal um ein Quadrat läufst zweimal "rückwärts" gehst.
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{ \vektor{1 \\ -e^t}.\vektor{1 \\ 0} dt}+\integral_{0}^{1}{ \vektor{t+1 \\ -e^t}. \vektor{1 \\ 0}dt}+\integral_{0}^{1}{ \vektor{t+1 \\ -e}.\vektor{0 \\ 1}dt}+\integral_{0}^{1}{\vektor{1 \\ -1}.\vektor{0 \\ 1} dx}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{1}{1+ (t+1)-e -1 dt}[/mm] = [mm]\bruch{3}{2}[/mm] -e
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> das ergebniss stimmt stimmt aber auch der rechen weg^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Sa 05.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
> Der Startpunkt des dritten Integrationsweges ist [mm](1,1)[/mm].
> Wenn Du aber [mm]t=0[/mm] in Dein [mm]\gamma_3[/mm] einsetzt, bist Du nicht
> bei [mm](1,1)[/mm]. Bei [mm]\gamma_4[/mm] das gleiche Problem.
> Bedenke auch, dass Du wenn Du einmal um ein Quadrat
> läufst zweimal "rückwärts" gehst.
hmm meinst du es so?
[mm]\gamma_3[/mm] = [1-t,1]
[mm]\gamma_4[/mm] = [1-t,0]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Sa 05.11.2011 | | Autor: | notinX |
> > Der Startpunkt des dritten Integrationsweges ist [mm](1,1)[/mm].
> > Wenn Du aber [mm]t=0[/mm] in Dein [mm]\gamma_3[/mm] einsetzt, bist Du nicht
> > bei [mm](1,1)[/mm]. Bei [mm]\gamma_4[/mm] das gleiche Problem.
> > Bedenke auch, dass Du wenn Du einmal um ein Quadrat
> > läufst zweimal "rückwärts" gehst.
>
> hmm meinst du es so?
>
> [mm]\gamma_3[/mm] = [1-t,1]
ja
>
> [mm]\gamma_4[/mm] = [1-t,0]
nein, so: [mm] $\gamma_4=(0,1-t)$
[/mm]
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:48 Sa 05.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
sry sollte eine frage sein keine Mitteilung
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Sa 05.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
hmm meinst du es vielleicht so
[mm] \gamma_1 [/mm] = [0,t] [mm] \Rightarrow [/mm] ableitung [mm] \gamma_1 [/mm] = [0,1] => [mm] n_1 [/mm] = [1,0]
[mm] \gamma_2 [/mm] = [1,t] [mm] \Rightarrow [/mm] ableitung [mm] \gamma_2 [/mm] = [0,1] => [mm] n_2 [/mm] = [1,0]
[mm] \gamma_3 [/mm] = [1-t,1] [mm] \Rightarrow [/mm] ableitung [mm] \gamma_3 [/mm] = [-t,0] => [mm] n_3 [/mm] = [0,1]
[mm] \gamma_4 [/mm] = [0,1-t] [mm] \Rightarrow [/mm] ableitung [mm] \gamma_4 [/mm] = [0,-t] => [mm] n_4 [/mm] = [-1,0]
mit [mm] t\in[0,1]
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{1}{ \vektor{1 \\ -e^t}.\vektor{1 \\ 0} dt}+\integral_{0}^{1}{ \vektor{t+1 \\ -e^t}. \vektor{1 \\ 0}dt}+\integral_{0}^{1}{ \vektor{1 \\ -e}.\vektor{0 \\ 1}dt}+\integral_{0}^{t}{\vektor{1 \\ -e^t-1}.\vektor{-1 \\ 0 } dx} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}-e
[/mm]
Edit: hab wohl geschlafen beim differenzieren^^ stimmt alles^^
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Hallo DerKoso,
> hmm meinst du es vielleicht so
>
> [mm]\gamma_1[/mm] = [0,t] [mm]\Rightarrow[/mm] ableitung [mm]\gamma_1[/mm] = [0,1] =>
> [mm]n_1[/mm] = [1,0]
> [mm]\gamma_2[/mm] = [1,t] [mm]\Rightarrow[/mm] ableitung [mm]\gamma_2[/mm] = [0,1] =>
> [mm]n_2[/mm] = [1,0]
> [mm]\gamma_3[/mm] = [1-t,1] [mm]\Rightarrow[/mm] ableitung [mm]\gamma_3[/mm] = [-t,0]
Hier muss es doch lauten:
[mm]\gamma_3 = [1-t,1] \Rightarrow[/mm] ableitung [mm]\gamma_3' = [-\red{1},0] [/mm]
> => [mm]n_3[/mm] = [0,1]
> [mm]\gamma_4[/mm] = [0,1-t] [mm]\Rightarrow[/mm] ableitung [mm]\gamma_4[/mm] = [0,-t]
Ebenso hier:
[mm]\gamma_4 = [0,1-t] \Rightarrow[/mm] ableitung [mm]\gamma_4' = [0,-\red{1}][/mm]
> => [mm]n_4[/mm] = [-1,0]
>
> mit [mm]t\in[0,1][/mm]
>
>
> [mm]\integral_{0}^{1}{ \vektor{1 \\ -e^t}.\vektor{1 \\ 0} dt}+\integral_{0}^{1}{ \vektor{t+1 \\ -e^t}. \vektor{1 \\ 0}dt}+\integral_{0}^{1}{ \vektor{1 \\ -e}.\vektor{0 \\ 1}dt}+\integral_{0}^{t}{\vektor{1 \\ -e^t-1}.\vektor{-1 \\ 0 } dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{3}{2}-e[/mm]
>
>
> Edit: hab wohl geschlafen beim differenzieren^^ stimmt
> alles^^
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Sa 05.11.2011 | | Autor: | DerKoso |
ja das ist mir auch sehr sehr sehr spät eingefallen ^^
danke für die hilfe an euch alle
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