Gaußsches Eliminationsverfahre < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sind diese Vektoren linear abhängig?
|
Hallo,
ich würde gerne wissen, ob ich die Aufgabe umständlich gelöst habe (geht es irgendwie schneller), oder ob mein Lösungsweg in Ordnung ist.
Vielen Dank für eure Hilfe!!!
Christopher
Hier ist die Aufgabenstellung und meine Rechnung:
http://img137.imageshack.us/img137/9095/15102006be5.jpg
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Also, irgendwie ist das wahnsinnig kompliziert.
Bis zur 4. Matrix ist das OK, doch dann weiß ich nicht, was du dann großes rechnest
In der ersten und letzten Zeile steht eine 0 am Anfang, damit solltest du weitermachen. Du könntest das doppelte der ersten zur zweiten addieren, dann ist da eine zweite 0 drin.
Dann bist du schon fertig! Schreib das ganze jetzt als Gleichung hin. aus dieser Zeile mit den beiden Nullen berechnest du die zweite Unbekannte, setzt sie dann in die Zeile ein, wo nur eine Null drin steht, berechnest damit die dritte Unbekannte, und wenn du das dann alles in die Gleichung ohne Nullen einsetzt, bekommst du auch die erste Unbekannte heraus.
Das ist das Eliminationsverfahren nach Gauß. Natürlich kannst du das noch weiter treiben, sodaß du letztendlich eine Einheitsmatrix da stehen hast, aber das ist eher was für Computer. Du solltest schon aufhören, wenn du die Dreiecksform hast.
|
|
|
| |
|
danke für deine Antwort!
wenn ich wie du gesagt hast bei der 4. Matrix
[mm] \vmat{ 0 & -7/2 & 2 \\ 1 & -1/2 & 1 \\ 0 & 11/2 & -4 }
[/mm]
das doppelte der 1. Zeile zu der Zweiten addiere, komme ich auf folgendes
[mm] \vmat{ 0 & -7/2 & 2 \\ 1 & -15/2 & 5 \\ 0 & 11/2 & -4 }
[/mm]
was meinst du mit, da ist dann eine zweite 0?
|
|
|
| |
|
Och, tut mir leid, hab mich verschrieben. Ich meinte, du solltest das Doppelte der ersten zur DRITTEN hinzuaddieren.
Dann gibt's ganz rechts wieder ne 0.
Du könntest natürlich auch 1/7 der einen zu 1/11 der anderen addieren, damit du in der Mitte ne 0 bekommst, aber ich denke, so ists einfacher.
Du bist ein intelligenter Mensch, der dafür nicht so schnell und fehlerfrei rechnen kann, von daher solltest du das nicht ganz so streng nach Vorschrift machen, das verkompliziertdie Sache nur.
|
|
|
| |
|
erst mal wieder Danke für deine Antwort!
Ich habe jetzt die Aufgabe so wie du gesagt hast gelöst und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:
http://img167.imageshack.us/img167/7672/aufgabesx3.jpg
Mein Prof. hat die Aufgabe so gerechnet:
http://img167.imageshack.us/img167/7913/profju0.jpg
Ist von der Vorgehensweise schon anders als du's gemacht hast oder?
Jetzt hätt ich noch drei allgemeine Fragen:
1.)Wie gehe ich allgemein bei dem Gaußschen Eliminationsverfahren vor? An welchem Punkt gehe ich dazu über, wie du mir geraten hast, die Gleichungen hinzuschreiben und die einzelnen Unbekannten auszurechnen?
2.) Wie ist die Vorgehensweise bei einem linearen Gleichungssystem mit 4 Vektoren? (muss ich hierbei zu einer Zeile mit 3 Nullen, zu einer mit 2 Nullen und zu einer Zeile mit einer Null kommen?
3.) Wie gehe ich bei einem inhomogenen Linearen Gleichungssystem vor, bei dem mit Hilfe des Gaußschen Elininationsver. die Lösungsmenge als Vektorraum anzugeben ist?
z.B. hier
[mm] x_{1} [/mm] + 2 [mm] x_{2} [/mm] + 3 [mm] x_{3} [/mm] + [mm] x_{4} [/mm] = 2
2 [mm] x_{1} [/mm] - 4 [mm] x_{2} [/mm] - [mm] x_{3} [/mm] + 3 [mm] x_{4} [/mm] = 3
-2 [mm] x_{1} [/mm] - 12 [mm] x_{2} [/mm] - 13 [mm] x_{3} [/mm] - [mm] x_{4} [/mm] = -5
7 [mm] x_{1} [/mm] + 6 [mm] x_{2} [/mm] + 14 [mm] x_{3} [/mm] + 8 [mm] x_{4} [/mm] = 13
Danke für deine Hilfe!
Christopher
|
|
|
| |
|
Um auch das noch zu beantworten:
Man kann das ganze so lange ausexerzieren, bis wirklich in jeder Zeile und jeder Spalte nur eine einzige 1 steht. Eigentlich geht das ganze sogar so weit, daß da die Einheitsmatrix steht.
Das wäre die Lösung für Computer, denn das ist ziemlich doofes Rechnen.
Intelligenter ist es, wenn du so rechnest, daß du eine Zeile hast, in der überall etwas ungleich 0 steht, in einer weiteren steht eine Null, und in der letzten stehen zwei Nullen. Wenn man die Zeilen vertauscht, sollte das eine Matrix in oberer Dreiecksform sein, sprich, alles unterhalb der Diagonalen ist 0.
Dann würde ich konventionell weiterrechnen.
Oder aber, du teilst die letzte Zeile durch die Zahl, die da steht, dann ziehst du von der mittleren die letzte so ab, daß in der mittleren auch nur noch in der Mitte was steht, teilst die mittlere durch diese Zahl, um dann von der ersten die zweite und dritte abzuziehen, und zwar so, daß auch da nur noch eine Zahl steht, durch die du teilst.
Letztendlich besteht das Prinzip eigentlich immer darin, schnellstmöglich mehrere Nullen hineinzubringen.
Das geht eigentlich sehr schnell, die Dreiecksform läßt sich in nur zwei ( n-1)"Blöcken" hinschreiben, und diese von deinem Prof angestrebte Form kommt nach 2 weiteren Blöcken raus.
|
|
|
| |
|
Hey Chris! Alles kloar? Aber gleich!
Um feststellen zu können, ob die Vektoren linear abhängig sind, muss du schauen,
a) ob der erste von den beiden anderen linear abhängig ist
b) ob der zweite "
c) ob der dritte "
Schauen wir mal a) an. Wenn der erste von den beiden linear abhängig wäre, dann würde folgendes gelten:
[mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} [/mm] = u * [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix} [/mm] + v * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}
[/mm]
Das kannst du ja dann in drei einzelne Gleichungen zerlegen. Beachte dabei, dass u und v Zahlen sind, keine Vektoren! Wenn es dann eine Lösung für u und v gibt, dann ist der erste Vektor von den beiden anderen linear abhängig.
Ich habe das in meinen TI eingegeben und false erhalten, das bedeutet, es gibt keine Lösung.
Kommen wir zu b)
[mm] \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix} [/mm] = u * [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} [/mm] + v * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix}
[/mm]
Es gibt ebenfalls keine Lösung für u und v!
Nun zu c)
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -1\end{pmatrix} [/mm] = u * [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} [/mm] + v * [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4\end{pmatrix}
[/mm]
Auch hier gibt's keine Lösung, womit gezeigt wäre, dass alle drei Vektoren linear unabhängig sind.
|
|
|
| |
|
In gewisser Weise hast du recht, aber auch du machst dir zu viel arbeit.
Wenn du nur eine deiner drei Gleichungen anschaust, reicht das fast VÖLLIG! Wenn du danach noch schaust, daß die beiden Vektoren, die du addierst, nicht parallel zueinander sind, dann bist du fertig.
Dennoch, allgemein ist Lin. Unabhängigkeit so definiert:
[mm] $\lambda \vec [/mm] A + [mm] \mu \vec [/mm] B + [mm] \nu \vec C=\vec [/mm] 0$ nur dann, wenn [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \mu =\nu [/mm] =0$ gilt.
Und diese Gleichung versucht der Beitragsersteller zu lösen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:01 So 15.10.2006 | | Autor: | jackiechan |
Na klar!
Sollte ein dritter Vektor linear abhängig sein zu zwei anderen, dann liegt er auf der Ebene, die von diesen zweien aufgespannt werden.
Dann könnte man die Ebene aber gerade so gut mit zwei anderen aufspannen und der andere wäre immer noch drauf.
Entweder alle sind linear abhängig voneinander oder gar keiner!
|
|
|
|
