Gebiet im R3 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 So 17.05.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass G := {(x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] : [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 \neq [/mm] 0} ein Gebiet im [mm] \IR^3 [/mm] ist. |
Erst mal ein paar Definitionen, die ich mir gesammelt habe:
G [mm] \subseteq \IR^n [/mm] heißt Gebiet [mm] :\gdw [/mm] G ist offen und G ist wegzusammenhängend
G [mm] \subseteq \IR^n [/mm] heißt wegzusammenhängend
[mm]:\gdw \forall x,y \in G \exists \alpha : [0,1] \to G[/mm] stetig mit [mm]\alpha(0) = x , \alpha(1) = y [/mm].
G [mm] \subseteq \IR^n [/mm] heißt offen [mm] :\gdw \forall x_0 \in [/mm] G [mm] \exists \epsilon [/mm] > 0 s.d. [mm] U_{\epsilon}(x_0) [/mm] = { x [mm] \in \IR^n [/mm] : [mm] dist(x,x_0) [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] } [mm] \in [/mm] G
Beweis:
(i) G ist offen:
Anschaulich ist G der gesamte [mm] \IR^3 [/mm] ohne die x-Achse. Definiere [mm]G' = \IR^3 \backslash G = \{(x,0,0) \in \IR^3\}[/mm]
z.Z.: G' ist im [mm] \IR^3 [/mm] abgeschlossen.
Wähle [mm] \epsilon [/mm] > 0 beliebig. Betrachte den Punkt [mm] (x,\bruch{\epsilon}{2},0). [/mm] Dieser befindet sich in einer beliebigen Epsilonumgebung um x und ist [mm] \notin [/mm] G'. [mm] \Rightarrow [/mm] G' ist abgeschlossen.
Da G' abgeschlossen ist G per Definition offen.
(ii) G ist wegzusammenhängend:
Hier komme ich leider mit der vorhandenen Definition nicht weiter. Diese ist zwar wunderschön anschaulich, aber für mich nicht umsetzbar auf die gegebene Menge. Gibt es vielleicht praktischere Definitionen oder einen kleinen Tipp, der mir die vorhandene zugänglich machen könnte? 
Schöne Grüße,
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 So 17.05.2009 | | Autor: | pelzig |
> Zeigen Sie, dass [mm]G := \{(x,y,z)\in \IR^3:y^2 +z^2 \neq 0\}[/mm] ein Gebiet im [mm]\IR^3[/mm] ist.
> Erst mal ein paar Definitionen, die ich mir gesammelt habe:
>
> [mm]G\subseteq \IR^n[/mm] heißt Gebiet [mm]:\gdw[/mm] G ist offen und G ist
> wegzusammenhängend
> [mm]G \subseteq \IR^n[/mm] heißt wegzusammenhängend
> [mm]:\gdw \forall x,y \in G \exists \alpha : [0,1] \to G[/mm] stetig
> mit [mm]\alpha(0) = x , \alpha(1) = y [/mm].
> [mm]G\subseteq \IR^n[/mm] heißt offen [mm]:\gdw \forall x_0 \in G \exists \epsilon>0[/mm] s.d.
> [mm]U_{\epsilon}(x_0):=\{ x\in \IR^n: dist(x,x_0) < \epsilon\}\subset G[/mm]
Richtig.
> Beweis:
> (i) G ist offen:
> Anschaulich ist G der gesamte [mm]\IR^3[/mm] ohne die x-Achse.
Genau. Aber auch nicht-anschaulich: Ist [mm] $x\not\in [/mm] G$, so muss [mm] $x_2^2+x_3^2=0$ [/mm] sein, also [mm] $x_2=x_3=0$.
[/mm]
> Definiere [mm]G' = \IR^3 \backslash G = \{(x,0,0) \in \IR^3\}[/mm]
Das schreibt man auch oft [mm] G^c, [/mm] das Komplement von G.
> z.Z.: G' ist im [mm]\IR^3[/mm] abgeschlossen.
> Wähle [mm]\epsilon[/mm] > 0 beliebig. Betrachte den Punkt
> [mm](x,\bruch{\epsilon}{2},0).[/mm] Dieser befindet sich in einer
> beliebigen Epsilonumgebung um x und ist [mm]\notin[/mm] G'.
> [mm]\Rightarrow[/mm] G' ist abgeschlossen.
> Da G' abgeschlossen ist G per Definition offen.
Vom Prinzip richtig, aber deine Beweisstruktur ist noch nicht so ganz klar. Du musst zuerst ein [mm] $x\in [/mm] G'$ fixieren, dann zeigst du, dass jede Umgebung um x einen Punkt enthält, der nicht in G' liegt.
Man kann es auch anders machen: Betrachte die stetige Abbildung [mm] $f:\IR^3\ni(x,y,z)\mapsto y^2+z^2$. [/mm] Dann ist [mm] $G'=f^{-1}(0)$ [/mm] das Urbild einer abgeschlossenen Menge, also abgeschlossen. Die meisten Mengen, die man so auf Übungszetteln findet, lassen sich auf diese Weise erschlagen.
> (ii) G ist wegzusammenhängend:
> Hier komme ich leider mit der vorhandenen Definition nicht
> weiter. Diese ist zwar wunderschön anschaulich, aber für
> mich nicht umsetzbar auf die gegebene Menge. Gibt es
> vielleicht praktischere Definitionen oder einen kleinen
> Tipp, der mir die vorhandene zugänglich machen könnte?
Mir fällt jetzt auch nix schönes ein, aber so schwer ist es nicht die Wege zu konstruieren: Sei [mm] $x,y\in [/mm] G$ beliebig. In den meisten Fällen wird nun die direkte Verbindung [mm] $\gamma(t)=x+t(y-x)$ [/mm] die [mm] x_1-Achse [/mm] nicht treffen. Falls dies doch der Fall sein sollte, dann muss man die noch über einen Zwischenpunkt "umkurven".
Gruß, Robert
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:18 Mo 18.05.2009 | | Autor: | MaRaQ |
Hallo Robert,
danke für deine Antwort. Den Beweis aus (i) habe ich mal nach deinen Hinweisen überarbeitet (sprich x zu Beginn fest gewählt...). Der Tipp mit der stetigen Abbildung ist klasse. Den schau ich mir noch einmal gründlicher an.
Zu der Wegstetigkeit: Da habe ich mir jetzt mithilfe deines Hinweises eine Abbildung konstruiert, die die Voraussetzungen eigentlich erfüllen müsste:
[mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR [/mm] setze
[mm] \alpha(t)=\begin{cases} x + t(y-x), & \mbox{für } x + t(y-x) \cap (c,0,0) = \emptyset \forall c \in \IR \\ x + t(y-x+(t-1)(0,5,5)), & \mbox{sonst} \end{cases}
[/mm]
Offensichtlich gilt hier [mm] \alpha(0) [/mm] = x und [mm] \alpha(1) [/mm] = y
Nun müsste ich aus meinem Empfinden heraus noch zeigen, dass in dem Fall, in dem die direkte Verbindung die x-Achse schneidet, meine Konstruktion diese nicht schneidet.
Ergo:
x + t(y-x) = (c,0,0) (für ein festes t != 0,1) [mm] \Rightarrow [/mm] x + t(y-x + (t-1)(0,5,5) != (c,0,0)
(denn dass ich die x-Achse an einer anderen Stelle als c schneide ist ja ausgeschlossen, da ich lediglich die y- und z-Koordinaten manipuliere)
Angenommen, es gelte die Implikation x + t(y-x) = (c,0,0) (für ein festes t != 0,1) [mm] \Rightarrow [/mm] x + t(y-x + (t-1)(0,5,5) = (c,0,0)
Daraus folgt x + t(y-x) = x + t(y-x + (t-1)(0,5,5) [mm] \gdw [/mm] 0 = (t-1)(0,5,5) [mm] \gdw [/mm] t = 1
Aber t = 1 ist ausgeschlossen. Widerspruch!
Mein Problem mit dieser Beweisführung ist allerdings, dass ich es selbst als ziemlich... "Wischiwaschi" bezeichnen würde.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Do 21.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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