Gebiet mit 0 < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei A [mm] \subseteq \IC [/mm] ein Gebiet mit 0 [mm] \in [/mm] A. Sei zudem f: A -> [mm] \IC [/mm] eine holomorphe Funktion.
Gibt es natürliche Zahlen a,b und holomorphe Funktionen g,h: A -> [mm] \IC [/mm] mit f(z) = [mm] z^a*e^{g(z)} [/mm] = [mm] z^b*e^{h(z)} [/mm] für alle z [mm] \in [/mm] A, so gilt a = b |
Wie geht man an so etwas ran?
Alle "Beweise", die ich gemacht habe, zielen darauf ab, dass ich durch 0 teile...
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Sa 13.07.2013 | | Autor: | fred97 |
f hat in 0 eine a-fache Nullstelle und in 0 auch eine b-fache Nullstelle......
FRED
|
|
|
| |
|
Hm, dann so?:
f ist holomorph. Also lässt sich f in einer Umgebung von 0 in eine Taylor-Reihe entwickeln:
f(z) = [mm] \sum_{k=a}^{\infty} c_k* z^k [/mm] = [mm] \sum_{k=b}^{\infty} c_k* z^k
[/mm]
mit [mm] c_k [/mm] = [mm] \frac{f^{(k)}(0)}{k!} [/mm]
Gilt damit schon a=b? Denn sonst würde die obige Gleichheit nicht gelten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 So 14.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hm, dann so?:
>
> f ist holomorph. Also lässt sich f in einer Umgebung von 0
> in eine Taylor-Reihe entwickeln:
>
> f(z) = [mm]\sum_{k=a}^{\infty} c_k* z^k[/mm] = [mm]\sum_{k=b}^{\infty} c_k* z^k[/mm]
>
> mit [mm]c_k[/mm] = [mm]\frac{f^{(k)}(0)}{k!}[/mm]
>
> Gilt damit schon a=b? Denn sonst würde die obige
> Gleichheit nicht gelten.
Na ja, ...
Nimm an, es wäre a [mm] \ne [/mm] b. Etwa b>a, also n:=b-a>0.
Für z [mm] \ne [/mm] 0 ist dann $ [mm] e^{g(z)} [/mm] $ = $ [mm] z^n\cdot{}e^{h(z)} [/mm] $
Mit z [mm] \to [/mm] 0 würde dann folgen:
$ [mm] e^{g(0)}=0 [/mm] $
Geht das gut ?
FRED
|
|
|
| |
|
Nein, da die e-Funktion nur surjektiv auf [mm] \IC \backslash \{0 \} [/mm] abbildet ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 So 14.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Nein, da die e-Funktion nur surjektiv auf [mm]\IC \backslash \{0 \}[/mm]
> abbildet ?
Es ist [mm] e^w \ne [/mm] 0 für alle w [mm] \in \IC
[/mm]
FRED
|
|
|
|
