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| Aufgabe | Welche folgenden Teilmengen von [mm] \IC [/mm] sind Gebiete?
a){z [mm] \in \IC; |z^2-3|<1}
[/mm]
b){z [mm] \in \IC; |z^2-1|<3}
[/mm]
c){z [mm] \in \IC; ||z|^2-2|<1}
[/mm]
d){z [mm] \in \IC; |z^2-1|<1}
[/mm]
e){z [mm] \in \IC; z+|z|\neq [/mm] 0} |
Hallo 
Ich habe bereits die Lösungen, die da wären:
b) c)und e) sind Gebiete. Nun meine Frage: Wie komme ich da drauf? Ein Gebiet ist offen, (weg)zusammenhängend und nichtleer.
Aber was mich verwirrt ist vorallem, dass a) kein Gebiet ist, b) aber sschon, und sich die Ungleichungen kaum voneinander unterscheiden....
Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Di 12.07.2016 | | Autor: | fred97 |
Nehmen wir uns mal b) und a) vor.
b) [mm] G_1:=\{z \in \IC; |z^2-1|<3\}.
[/mm]
Als erstes stellen wir fest: $0 [mm] \in G_1.$
[/mm]
Nun sei $z [mm] \in G_1$, [/mm] $t [mm] \in [/mm] (0,1] $ und $z(t):=tz$.
Es ist
[mm] $|z(t)^2-1|=|t^2z^2-1|=|t^2z^2-t^2+t^2-1|=|t^2(z^2-1)+t^2-1| \le t^2|z^2-1|+1-t^2 <3t^2+1-t^2=2t^2+1 \le [/mm] 3$
Damit ist gezeigt: für jedes $z [mm] \in G_1$ [/mm] liegt auch die Verbindungsstrecke von 0 und z ganz in [mm] G_1. [/mm] Damit ist [mm] G_1 [/mm] sternförmig mit Sternmittlpunkt 0.
Die Offenheit von [mm] G_1 [/mm] dürfte klar sein. Damit ist [mm] G_1 [/mm] sogar ein einfach zusammenhängendes Gebiet.
a) [mm] G_2:=\{z \in \IC; |z^2-3|<1}
[/mm]
Für $y [mm] \in \IR [/mm] $ ist
$ [mm] |(iy)^2-3|=|-y^2-3|=y^2+3 \ge [/mm] 3$.
Das bedeutet:
(*) kein Punkt der imaginären Achse gehört zu [mm] G_2.
[/mm]
Weiter: die Punkte [mm] \bruch{3}{2} [/mm] und $- [mm] \bruch{3}{2}$ [/mm] gehören zu [mm] G_2.
[/mm]
Aus (*) folgt: es gibt keinen Weg in [mm] G_2 [/mm] der die Punkte [mm] \bruch{3}{2} [/mm] und $- [mm] \bruch{3}{2}$ [/mm] miteinander verbindet.
[mm] G_2 [/mm] ist also nicht zusammenhängend.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:36 Mi 13.07.2016 | | Autor: | fred97 |
Zu a), b) und d):
http://mathworld.wolfram.com/CassiniOvals.html
Zum Spielen:
http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/CassiniOvals.shtml
FRED
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