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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Mi 21.09.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Sei [mm] $G:=\{ re^{i\phi}, 1\le r \le 2, \frac{-\pi}{4}\le \phi \le \frac{\pi}{4}\}$. [/mm] Man skizziere G in [mm] $\IC$ [/mm] und bestimme das Bild $f(G)$ und das Urbild [mm] $f^{-1}(G)$ [/mm] unter der Abbildung [mm] $f(z)=z^{3}$ [/mm] |
Hallo,
G skizziert ist ein gleichschenkliges Dreieck, wobei ein Eckpunkt im Nullpunkt, und die anderen beiden bei [mm] $g_{1}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i$ [/mm] und [mm] $g_{2}=\overline{g_{1}}$
[/mm]
die drei Punkte abbilden mit der Vorschrift [mm] $f(z)=z^{3}$ [/mm] ergibt : [mm] $f(g_{2})=\sqrt{2}(-4-4i)$ $f(g_{1})=\overline{f(g_{2})}$ [/mm] also das gleichschenklige Dreieck drehgestreckt um Winkel: [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] und Streckfaktor: -4.
Es ist [mm] $f^{-1}(z) [/mm] = [mm] \sqrt[3]{z}$ [/mm] also [mm] $g_{1}$ [/mm] und [mm] $g_{2}$ [/mm] damit abbilden und das Urbild [mm] $f^{-1}(G)$ [/mm] besteht aus 3 gleichschenkligen Dreiecken.
Ist das so richtig?
Danke.
Gruss
kushkush
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Hallo kuskkush,
> Sei [mm]G:=\{ re^{i\phi}, 1\le r \le 2, \frac{-\pi}{4}\le \phi \le \frac{\pi}{4}\}[/mm].
> Man skizziere G in [mm]\IC[/mm] und bestimme das Bild [mm]f(G)[/mm] und das
> Urbild [mm]f^{-1}(G)[/mm] unter der Abbildung [mm]f(z)=z^{3}[/mm]
>
> Hallo,
>
>
> G skizziert ist ein gleichschenkliges Dreieck, wobei ein
> Eckpunkt im Nullpunkt, und die anderen beiden bei
> [mm]g_{1}=\sqrt{2}+\sqrt{2}i[/mm] und [mm]g_{2}=\overline{g_{1}}[/mm]
>
> die drei Punkte abbilden mit der Vorschrift [mm]f(z)=z^{3}[/mm]
> ergibt : [mm]f(g_{2})=\sqrt{2}(-4-4i)[/mm]
> [mm]f(g_{1})=\overline{f(g_{2})}[/mm] also das gleichschenklige
> Dreieck drehgestreckt um Winkel: [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] und
> Streckfaktor: -4.
>
> Es ist [mm]f^{-1}(z) = \sqrt[3]{z}[/mm] also [mm]g_{1}[/mm] und [mm]g_{2}[/mm] damit
> abbilden und das Urbild [mm]f^{-1}(G)[/mm] besteht aus 3
> gleichschenkligen Dreiecken.
>
>
> Ist das so richtig?
>
G ist kein gleichschenkliges Dreieck.
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>
>
> Danke.
>
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Mi 21.09.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> kein
Ich hatte mit [mm] $0\le [/mm] r [mm] \le [/mm] 2$ gerechnet.
Es ist ein Trapez gegeben durch die Punkte [mm] $\frac{1}{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2}i),\frac{1}{2}( \sqrt{2}-\sqrt{2}i), \sqrt{2}+\sqrt{2}i, \sqrt{2}-\sqrt{2}i [/mm] $
Dann kann ich die Spitze abschneiden bei den Dreiecken und es stimmt?
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo,
>
>
> > kein
>
> Ich hatte mit [mm]0\le r \le 2[/mm] gerechnet.
>
> Es ist ein Trapez gegeben durch die Punkte
> [mm]\frac{1}{2}(\sqrt{2}+\sqrt{2}i),\frac{1}{2}( \sqrt{2}-\sqrt{2}i), \sqrt{2}+\sqrt{2}i, \sqrt{2}-\sqrt{2}i[/mm]
>
>
> Dann kann ich die Spitze abschneiden bei den Dreiecken und
> es stimmt?
>
Nein, das stimmt trotzdem nicht.
Es handelt sich bei [mm]0\le r \le 2[/mm] um einen Kreis.
>
> > Gruss
> Danke
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mi 21.09.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo MathePower,
> nein
Dieses Gebiet ist ein gleichschenkliges Dreieck: [mm] $G_{kush}:= \{re^{i\phi}, 0\le r \le 2 , \frac{-\pi}{4} \le \phi \le \frac{\pi}{4} \}$ [/mm] ??
mit den Eckpunkten: $0, [mm] \sqrt{2}+\sqrt{2}i, \sqrt{2}-\sqrt{2}i$
[/mm]
> Gruss
Danke!
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Mi 21.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo MathePower,
>
> > nein
>
> Dieses Gebiet ist ein gleichschenkliges Dreieck:
> [mm]G_{kush}:= \{re^{i\phi}, 0\le r \le 2 , \frac{-\pi}{4} \le \phi \le \frac{\pi}{4} \}[/mm]
> ??
>
> mit den Eckpunkten: [mm]0, \sqrt{2}+\sqrt{2}i, \sqrt{2}-\sqrt{2}i[/mm]
>
>
> > Gruss
> Danke!
>
>
> Gruss
> kushkush
Nein!!!
Es handelt sich um einen Viertelkreis.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Mi 21.09.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo!
> viertelkreis.
Danke!!
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Mi 21.09.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
>
>
>
> > viertelkreis.
>
> Danke!!
Bitte.
Da es auch noch den inneren Radius r=1 gibt, bleibt am Ende nur ein Viertel eines Kreisringes.
Gruß Abakus
>
>
> Gruss
> kushkush
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