Gebietsintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Do 15.01.2015 | | Autor: | Marie886 |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Doppelintegral [mm] \int\int_B (x^2-2xy)dxdy, [/mm] wobei das Dreieck mit den Echpunkten (-1,0), (1,0), (0,1) bezeichnet |
So, habe mich heute wieder den Gebietsintegralen gewidmet und würde gerne wissen ob es stimmt.
Hier mal meine Skizze: ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Ich habe beschlossen das Dreieck in zwei Integrale aufzuteilen.
Die Grenzen sind auf meiner Skizze ersichtlich.
Zu Beginn habe ich nach y integriert:
[mm] I=I_1+I_2
[/mm]
[mm] I=\integral_{x=-1}^{0}(\int_{y=x}^{x+1} x^2-2xydy)dx+\integral_{x=0}^{1}(\int_{y=-x}^{-x+1} x^2-2xydy)dx=
[/mm]
[mm] I_1= x^2-2x* \bruch{y^2}{2}|_x^x^+^1= x^2-2x* \bruch{(x+1)^2}{2}-\left( x^2-2x*\bruch{x^2}{2} \right)=
[/mm]
[mm] x^2-2x*\left( \bruch{x^2+2x+1}{2} \right)-x^2+\bruch{2x^3}{2} [/mm] = [mm] x^2-\bruch{2x^3}{2} -\bruch{4x^2}{2}-\bruch{2x}{2}-x^2+\bruch{2x^3}{2}= -2x^2-x
[/mm]
[mm] I_2= x^2-2x* \bruch{y^2}{2}|_-_x^1^-^x= x^2-2x* \bruch{(1-x)^2}{2}-\left( x^2-2x*\bruch{-x^2}{2} \right)=
[/mm]
[mm] x^2-2x*\bruch{1-2x+x^2}{2}-x^2+\bruch{2x^3}{2} [/mm] = [mm] x^2-\bruch{2x}{2} +\bruch{4x^2}{2}-\bruch{2x^3}{2}-x^2+\bruch{2x^3}{2}= -x+2x^2
[/mm]
Somit ist mein neues Integral das nach x integriert wird:
[mm] I=I_1+I_2
[/mm]
[mm] I=\integral_{x=-1}^{0}-2x^2-xdx+\integral_{x=0}^{1}-x+2x^2dx=
[/mm]
[mm] I_1=\integral_{x=-1}^{0}-2x^2-xdx= -\bruch {2x^3}{3}- \bruch{x^2}{2}|_-_1^0= 0-\left(- \bruch{2*(-1^3)}{3}-\bruch{-1^2}{2} \right)= 0-\bruch{2}{3}-\bruch{1}{2}= -\bruch{7}{6}
[/mm]
[mm] I_2= \integral_{x=0}^{1}-x+2x^2dx= -\bruch {x^2}{2}+ \bruch{2x^3}{3}|_0^1= -\bruch{1}{2}+\bruch{2}{3}-0= -\bruch{1}{3}\bruch{2}{3}= \bruch{1}{6}
[/mm]
Somit ist die Fläche:
[mm] I=\integral_{x=-1}^{0}-2x^2-xdx+\integral_{x=0}^{1}-x+2x^2dx=-\bruch{7}{6}+ \bruch{1}{6}= [/mm] -1= |1|
LG,
Marie886
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Do 15.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das Doppelintegral [mm]\int\int_B (x^2-2xy)dxdy,[/mm]
> wobei das Dreieck mit den Echpunkten (-1,0), (1,0), (0,1)
> bezeichnet
> So, habe mich heute wieder den Gebietsintegralen gewidmet
> und würde gerne wissen ob es stimmt.
>
> Hier mal meine Skizze: Datei-Anhang
>
> Ich habe beschlossen das Dreieck in zwei Integrale
> aufzuteilen.
>
> Die Grenzen sind auf meiner Skizze ersichtlich.
>
> Zu Beginn habe ich nach y integriert:
>
> [mm]I=I_1+I_2[/mm]
>
> [mm]I=\integral_{x=-1}^{0}(\int_{y=x}^{x+1} x^2-2xydy)dx+\integral_{x=0}^{1}(\int_{y=-x}^{-x+1} x^2-2xydy)dx=[/mm]
Das ist nicht richtig. Richtig ist:
[mm]I=\integral_{x=-1}^{0}(\int_{y=0}^{x+1} x^2-2xydy)dx+\integral_{x=0}^{1}(\int_{y=0}^{-x+1} x^2-2xydy)dx=[/mm]
FRED
Z
>
> [mm]I_1= x^2-2x* \bruch{y^2}{2}|_x^x^+^1= x^2-2x* \bruch{(x+1)^2}{2}-\left( x^2-2x*\bruch{x^2}{2} \right)=[/mm]
>
> [mm]x^2-2x*\left( \bruch{x^2+2x+1}{2} \right)-x^2+\bruch{2x^3}{2}[/mm]
> = [mm]x^2-\bruch{2x^3}{2} -\bruch{4x^2}{2}-\bruch{2x}{2}-x^2+\bruch{2x^3}{2}= -2x^2-x[/mm]
>
> [mm]I_2= x^2-2x* \bruch{y^2}{2}|_-_x^1^-^x= x^2-2x* \bruch{(1-x)^2}{2}-\left( x^2-2x*\bruch{-x^2}{2} \right)=[/mm]
>
> [mm]x^2-2x*\bruch{1-2x+x^2}{2}-x^2+\bruch{2x^3}{2}[/mm] =
> [mm]x^2-\bruch{2x}{2} +\bruch{4x^2}{2}-\bruch{2x^3}{2}-x^2+\bruch{2x^3}{2}= -x+2x^2[/mm]
>
> Somit ist mein neues Integral das nach x integriert wird:
> [mm]I=I_1+I_2[/mm]
>
> [mm]I=\integral_{x=-1}^{0}-2x^2-xdx+\integral_{x=0}^{1}-x+2x^2dx=[/mm]
>
> [mm]I_1=\integral_{x=-1}^{0}-2x^2-xdx= -\bruch {2x^3}{3}- \bruch{x^2}{2}|_-_1^0= 0-\left(- \bruch{2*(-1^3)}{3}-\bruch{-1^2}{2} \right)= 0-\bruch{2}{3}-\bruch{1}{2}= -\bruch{7}{6}[/mm]
>
> [mm]I_2= \integral_{x=0}^{1}-x+2x^2dx= -\bruch {x^2}{2}+ \bruch{2x^3}{3}|_0^1= -\bruch{1}{2}+\bruch{2}{3}-0= -\bruch{1}{3}\bruch{2}{3}= \bruch{1}{6}[/mm]
>
> Somit ist die Fläche:
>
> [mm]I=\integral_{x=-1}^{0}-2x^2-xdx+\integral_{x=0}^{1}-x+2x^2dx=-\bruch{7}{6}+ \bruch{1}{6}=[/mm]
> -1= |1|
>
> LG,
> Marie886
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Do 15.01.2015 | | Autor: | Marie886 |
[mm] I=I_1+I_2
[/mm]
[mm] I=\integral_{x=-1}^{0}(\int_{y=0}^{x+1} x^2-2xydy)dx+\integral_{x=0}^{1}(\int_{y=0}^{-x+1} x^2-2xydy)dx= [/mm]
[mm] I_1= x^2-2x\cdot{} \bruch{y^2}{2}|_0^x^+^1= x^2-2x\cdot{} \bruch{(x+1)^2}{2}-\left( x^2-2x\cdot{}0\right)= [/mm]
[mm] x^2-2x\cdot{}\bruch{x^2+2x+1}{2}-x^2+0=x^2-\bruch{2x^3}{2} -\bruch{4x^2}{2}-2x-x^2= -x^3-2x^2-x [/mm]
[mm] I_2= x^2-2x\cdot{} \bruch{y^2}{2}|_0^1^-^x= x^2-2x\cdot{} \bruch{(1-x)^2}{2}-\left( x^2-2x\cdot{}0 \right)=
[/mm]
[mm] x^2-2x\cdot{}\bruch{1-2x+x^2}{2}-x^2+0 [/mm] = [mm] x^2-\bruch{2x}{2} +\bruch{4x^2}{2}-\bruch{2x^3}{2}-x^2=-x+2x^2-x^3
[/mm]
Somit ist mein neues Integral das nach x integriert wird:
[mm] I=I_1+I_2
[/mm]
[mm] I=\integral_{x=-1}^{0}-x^3-2x^2-2xdx+\integral_{x=0}^{1}-x+2x^2-
[/mm]
x^3dx=
[mm] I_1=\integral_{x=-1}^{0}-x^3-2x^2-2xdx= -\bruch {x^4}{4}- \bruch{2x^3}{3}-\bruch{2x^2}{2}|_-_1^0=0-\left(- \bruch{1}{4}+\bruch{2}{3}-\bruch{2}{2} \right) [/mm] = [mm] 0+\bruch{1}{4}-\bruch{2}{3}+\bruch{2}{2}=\bruch{3}{12}-\bruch{8}{12}+\bruch{12}{12}=\bruch{7}{12} [/mm]
[mm] I_2= \integral_{x=0}^{1}-x+2x^2-x^3dx= -\bruch {x^2}{2}+ \bruch{2x^3}{3}-\bruch{x^4}{4}|_0^1= -\bruch{1}{2}+\bruch{2}{3}-\bruch{1}{4}-0= -\bruch{6}{12}+\bruch{8}{12}-\bruch{3}{12}= -\bruch{1}{12} [/mm]
Somit ist die Fläche:
[mm] I=\integral_{x=-1}^{0}-x^3-2x^2-2xdx+\integral_{x=0}^{1}-x+2x^2-x^3dx=\bruch{7}{12}-\bruch{1}{12}=\bruch{1}{6}
[/mm]
So, ich hoffe dass es nun stimmt?!
LG,
Marie886
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Do 15.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> [mm]I=I_1+I_2[/mm]
>
> [mm]I=\integral_{x=-1}^{0}(\int_{y=0}^{x+1} x^2-2xydy)dx+\integral_{x=0}^{1}(\int_{y=0}^{-x+1} x^2-2xydy)dx=[/mm]
>
> [mm]I_1= x^2-2x\cdot{} \bruch{y^2}{2}|_0^x^+^1= x^2-2x\cdot{} \bruch{(x+1)^2}{2}-\left( x^2-2x\cdot{}0\right)=[/mm]
Da ist schon der erste Fehler.
Wenn Du [mm] x^2-2xy [/mm] bezüglich y integrierst bekommst Du nicht [mm] x^2-2x\cdot{} \bruch{y^2}{2}, [/mm] sondern
[mm] x^2y-xy^2
[/mm]
FRED
> [mm]x^2-2x\cdot{}\bruch{x^2+2x+1}{2}-x^2+0=x^2-\bruch{2x^3}{2} -\bruch{4x^2}{2}-2x-x^2= -x^3-2x^2-x[/mm]
>
> [mm]I_2= x^2-2x\cdot{} \bruch{y^2}{2}|_0^1^-^x= x^2-2x\cdot{} \bruch{(1-x)^2}{2}-\left( x^2-2x\cdot{}0 \right)=[/mm]
>
> [mm]x^2-2x\cdot{}\bruch{1-2x+x^2}{2}-x^2+0[/mm] = [mm]x^2-\bruch{2x}{2} +\bruch{4x^2}{2}-\bruch{2x^3}{2}-x^2=-x+2x^2-x^3[/mm]
>
>
> Somit ist mein neues Integral das nach x integriert wird:
>
> [mm]I=I_1+I_2[/mm]
>
> [mm]I=\integral_{x=-1}^{0}-x^3-2x^2-2xdx+\integral_{x=0}^{1}-x+2x^2-[/mm]
> x^3dx=
>
> [mm]I_1=\integral_{x=-1}^{0}-x^3-2x^2-2xdx= -\bruch {x^4}{4}- \bruch{2x^3}{3}-\bruch{2x^2}{2}|_-_1^0=0-\left(- \bruch{1}{4}+\bruch{2}{3}-\bruch{2}{2} \right)[/mm]
> =
> [mm]0+\bruch{1}{4}-\bruch{2}{3}+\bruch{2}{2}=\bruch{3}{12}-\bruch{8}{12}+\bruch{12}{12}=\bruch{7}{12}[/mm]
>
> [mm]I_2= \integral_{x=0}^{1}-x+2x^2-x^3dx= -\bruch {x^2}{2}+ \bruch{2x^3}{3}-\bruch{x^4}{4}|_0^1= -\bruch{1}{2}+\bruch{2}{3}-\bruch{1}{4}-0= -\bruch{6}{12}+\bruch{8}{12}-\bruch{3}{12}= -\bruch{1}{12}[/mm]
>
> Somit ist die Fläche:
>
> [mm]I=\integral_{x=-1}^{0}-x^3-2x^2-2xdx+\integral_{x=0}^{1}-x+2x^2-x^3dx=\bruch{7}{12}-\bruch{1}{12}=\bruch{1}{6}[/mm]
>
> So, ich hoffe dass es nun stimmt?!
>
> LG,
> Marie886
>
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Der nächste und hoffentlich letzte Anlauf:
[mm] I=I_1+I_2
[/mm]
[mm] I=\integral_{x=-1}^{0}(\int_{y=0}^{x+1} x^2-2xydy)dx+\integral_{x=0}^{1}(\int_{y=0}^{-x+1} x^2-2xydy)dx= [/mm]
[mm] I_1= x^2y-xy^2|_0^x^+^1= x^2*(x+1)- \left(x*(x+1)^2 \right)-0=
[/mm]
[mm] x^3+x^2-\left(x*(x^2+2x+1)\right)-0=
[/mm]
[mm] x^3+x^2-(x^3+2x^2+x)=x^3+x^2-x^3-2x^2-x =-x^2-x [/mm]
[mm] I_2= x^2y-xy^2|_0^1^-^x= x^2*(1-x)-\left(x*(1-x)^2\right)=
[/mm]
[mm] x^2-x^3-\left(x*(1-2x+x^2)\right)= x^2-x^3-x+2x^2-x^3= 3x^2-2x^3-x
[/mm]
Das neue Integral ist dann:
[mm] I=\integral_{x=-1}^{0}-x^2-xdx+\integral_{x=0}^{1} 3x^2-2x^3-xdx=
[/mm]
[mm] I_1= \integral_{x=-1}^{0}-x^2-xdx= -\bruch{x^3}{3}-\bruch{x^2}{2}|_-_1^0=
[/mm]
[mm] 0-\left(-\bruch{(-1)^3}{3}-\bruch{(-1)^2}{2}\right)= 0-\left( \bruch{1}{3}+ \bruch{1}{2}\right)=-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] I_2=\integral_{x=0}^{1} 3x^2-2x^3-xdx= \bruch{3x^3}{3}-\bruch{2x^4}{4}-\bruch{x^2}{2}-0= \bruch{3*1^3}{3}- \bruch{2*1^4}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1^2}{2}-0=\bruch{3}{3}-\bruch{2}{4}-\bruch{1}{2}= 1-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2} [/mm]
Somit hat das Integral den Wert:
[mm] I=\integral_{x=-1}^{0}-x^2-xdx+\integral_{x=0}^{1} 3x^2-2x^3-xdx=
[/mm]
[mm] -\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2}+ 1-\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}= \bruch{1}{6}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 So 18.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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