Gebrochen-rationale Funktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm] 4-\bruch{48}{x^{2}+12}
[/mm]
a) Untersuchen Sie die Funktion auf Definitionsbereich, Nullstellen, Symmetrie, Asymptote. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion.
b) Der Graph von f beschreibt das Profil eines Flussbettes. Die Einheit sei 1m. Im Normalfall liegt die Wasserhöhe in der Flussmitte bei 2m. Wie breit ist dann der Fluss?
c) Zur Bestimmung der Wassermenge soll die Funktion f auf dem Intervall I=[-2;2] durch die Funktion [mm] g(x)=ax^{4}+bx^{2} [/mm] approximiert werden. Dabei sollen beide Funktionen an den Intervallgrenzen im Funktionswert und in der Steigung übereinstimmen. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von g. Zeichnen Sie den Graphen von g.
d) Berechnen Sie näherungsweise unter Verwendung der Funktion g die Wassermenge im Fluss pro Kilometer Länge für eine Flussbreite von 6m.
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Hallo!
Also, ich hab ein kleines Problem... wir sollen die Aufgabe abgeben, leider hab ich da nicht wirklich den Durchblick... Habs aber probiert, wär euch echt dankbar wenn ihr mir weiterhelfen könnt:D
ZU a)
Wie soll man den Defitionsbereich untersuchen? Kann doch für jedes x anders sein... würd jetzt aber mal auf [mm] \IR [/mm] tippen.
Nullstelle is klar, stimmts?
=> f(x)=0 <=> [mm] 4-\bruch{48}{x^{2}+12} [/mm] = 0
<=> 4 = [mm] \bruch{48}{x^{2}+12}
[/mm]
<=> [mm] 4(x^{2}+12) [/mm] = 48
<=> x = 0
So, zur Symmetrie:
=> es gilt wenn f(-x) = f(x), dann liegt Achsensymmetrie vor
<=> dies ist hier der Fall!
Zur Asymptote:
=> es gilt wenn der Zählergrad < Nennergrad, ist die x-Achse
die Asymptote <=> ist hier der Fall!
Wie man nun weiterrechnet, haben wir nicht gelernt, ist
also nicht gefordert...
Zeichnen:
=> hm wusst jetzt nicht ob das hier auch geht?! Sollte aber
mit der Nullstelle, der Symmetrie, der Asymptote und ein
paar ausgerechneten punkten kein thema sein.
ZU b)
Schätze dazu müsste ich erst den Graphen zeichnen, um das zu verstehen... Aber wie soll man dann die breite berechnen?
ZU c)
Hier blick ich ehrlich gesagt garnicht durch... was soll ich denn nun mit g(x)? Und wie bitte soll ich g(x) bestimmen?
ZU d)
ja.. wenn man g denn mal hätte^^
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Also, bin euch echt dankbar wenn ihr mir weiterhelfen könnt, hab schon rumgefragt aber irgendwie blick keiner aus unserem kurs da durch, weil das ein ziemlich neues thema ist...
thx
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:56 Fr 16.03.2007 | | Autor: | Mary15 |
Hi,
> Gegeben ist die Funktion f(x)= [mm]4-\bruch{48}{x^{2}+12}[/mm]
>
> a) Untersuchen Sie die Funktion auf Definitionsbereich,
> Nullstellen, Symmetrie, Asymptote. Zeichnen Sie den Graphen
> der Funktion.
>
> b) Der Graph von f beschreibt das Profil eines Flussbettes.
> Die Einheit sei 1m. Im Normalfall liegt die Wasserhöhe in
> der Flussmitte bei 2m. Wie breit ist dann der Fluss?
>
> c) Zur Bestimmung der Wassermenge soll die Funktion f auf
> dem Intervall I=[-2;2] durch die Funktion
> [mm]g(x)=ax^{4}+bx^{2}[/mm] approximiert werden. Dabei sollen beide
> Funktionen an den Intervallgrenzen im Funktionswert und in
> der Steigung übereinstimmen. Bestimmen Sie die
> Funktionsgleichung von g. Zeichnen Sie den Graphen von g.
>
> d) Berechnen Sie näherungsweise unter Verwendung der
> Funktion g die Wassermenge im Fluss pro Kilometer Länge für
> eine Flussbreite von 6m.
>
>
> Hallo!
> Also, ich hab ein kleines Problem... wir sollen die
> Aufgabe abgeben, leider hab ich da nicht wirklich den
> Durchblick... Habs aber probiert, wär euch echt dankbar
> wenn ihr mir weiterhelfen könnt:D
>
> ZU a)
>
> Wie soll man den Defitionsbereich untersuchen? Kann doch
> für jedes x anders sein... würd jetzt aber mal auf [mm]\IR[/mm]
> tippen.
Definitionsbereich ist alle möglichen Werte für x, für die f(x) existiert. Bei gebrochen-rationalen Funktionen muss immer den Nenner auf möglichen Nullstellen überprüft werden. An diesen Stellen ist f(x) nicht definiert. In deinem Fall [mm] x^2 [/mm] + 12 [mm] \not= [/mm] 0 Also x [mm] \in [/mm] IR
>
> Nullstelle is klar, stimmts?
> => f(x)=0 <=> [mm]4-\bruch{48}{x^{2}+12}[/mm] = 0
> <=> 4 = [mm]\bruch{48}{x^{2}+12}[/mm]
> <=> [mm]4(x^{2}+12)[/mm] = 48
> <=> x = 0
stimmt
>
> So, zur Symmetrie:
> => es gilt wenn f(-x) = f(x), dann liegt Achsensymmetrie
> vor
> <=> dies ist hier der Fall!
wieso denn nicht? f(-x) = 4 - [mm] \bruch{48}{(-x)^2 +12} [/mm] = 4 - [mm] \bruch{48}{x^2 +12} [/mm] = f(x)
Zu Erinnerung: eine Funktion kann auch punktsymmetrisch sein wenn f(-x) = -f(x)
> Zur Asymptote:
> => es gilt wenn der Zählergrad < Nennergrad, ist die
> x-Achse
> die Asymptote <=> ist hier der Fall!
und die anderen Fälle?
Ist der Nennergrad gleich der Zählergrad, ist die Asymptote eine Parallele zur x-Achse.
in deinem Fall y =4
> Wie man nun weiterrechnet, haben wir nicht gelernt, ist
> also nicht gefordert...
>
> Zeichnen:
> => hm wusst jetzt nicht ob das hier auch geht?! Sollte
> aber
> mit der Nullstelle, der Symmetrie, der Asymptote und
> ein
> paar ausgerechneten punkten kein thema sein.
Man kann eine Wertetabelle aufstellen. Es wundert mich aber, dass in dieser Aufgabe keine Extrema und Wendepunkte finden soll. Ohne die, ist es schwierig ein Schaubild zu zeichnen.
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Okay, danke erstmal, bin aber noch nicht ganz durch...
Zu a nochmal)
- Symmetrie => liegt Achsensymmetrie vor, hab ich doch
geschrieben?! kann ja immer nur eine symmetrieb vorliegen^^
- Warum ist den bei Nullstellen f(x) nicht definiert? f(x)
ist doch letztendlich [mm] \in\IR [/mm] wegen der +12 oder?
- Asymptote => Wieso gehst du denn auf mehrere Fälle ein? Es
liegt doch hier nur der Fall vor, Zählergrad < Nennergrad.
Wir haben gelernt das man das an dem Exponent von x
erkennt. Und woher hast du die y = 4?
- Zeichnung: Nachdem wir das ganze mit einer Wertetabelle
gezeichnet haben, sah das aus wie ein Querschnitt eines
Flusses... logischer weise^^
zu b)
- Breite => man soll ja die Flussbreite berechnen... da
dachten wir uns spontan, da die höhe [=y] = 2 gegeben ist,
setzten wir f(x)=2 und lösen nach x auf, da kommen wir auf
[mm] \wurzel{12}, [/mm] was auch in unsere Zeichnung passt. Das dann
*2 ergibt die Flussbreite = 6,9m oder geht diese Theorie
nicht auf?
zu c)
Also ganz ehrlich hier blick ich garnicht mehr durch... wie bitte approximiert man denn eine Funktion durch eine andere Funktion??? Was ist mit der Steigung etc., die soll ja bei beiden Funktionen gleich sein. Wie rechnet man dann weiter?
zu d)
Ja... hab ja keine ahnung wie g aussieht... wüsste aber auch nicht wie ich das berechnen sollte...
Sorry wegen den vielen fragen... wär aber echt cool wenn jemand der bescheid weiss mir helfen könnte:D
thx
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Hallo chaoslegend,
ganz schön viele Fragen 
Na gehen wir das mal an:
(1) zu den Nullstellen: du hast Marys post etwas missinterpretiert.
Deine Funktion ist auf ganz [mm] \IR [/mm] definiert. Was Mary meinte, ist, dass im Allgemeinen gebrochen rationale Funktionen an den Nullstellen ihres Nenners nicht definiert sind. Hier ist aber der Nenner [mm] x^2+12 [/mm] und der hat keine Nullstellen, da er für alle [mm] x\in\IR [/mm] >0 ist.
(2) zu den Asymptoten.
Also da keine Definitionslücken und damit keine Polstellen vorliegen, musst du nur noch untersuchen, wie sich die Funktion für sehr große und für sehr kleine x verhält, also ihr Verhalten im Unendlichen untersuchen.
Die Funktion ist [mm] f(x)=4-\bruch{48}{x^2+12}
[/mm]
Mathematisch formal musst du [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}4-\bruch{48}{x^2+12} [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}4-\bruch{48}{x^2+12} [/mm] bestimmen.
Das kannst du mit der Argumentation "Zähler- und Nennergrad" gut machen.
Der "zweite Teil" [mm] \bruch{48}{x^2+12} [/mm] geht sowohl für [mm] x\rightarrow\infty [/mm] als auch für [mm] x\rightarrow -\infty [/mm] gegen 0, die Funktion sieht also im Unendlichen etwa so aus f(x)=4- "etwas, das fast Null ist"
Also [mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=4
[/mm]
Daher kommt die 4
Was war noch? Ach ja, die (c)
Nun deine Funktion f(x) soll auf einem Intervall I=[-2;2] durch eine Funktion [mm] g(x)=ax^4+bx^2 [/mm] , also ein Polynom vierten Grades approximiert werden, hmm, dh. es ist eine Funktion gesucht, deren Graph sich auf diesem Intervall demjenigen von f ziemlich nahe "anschmiegt".
Die Funktion g kannst du bestimmen, indem du die Infos aus der Aufgabenstellung "raussaugst".
(i) An den Rändern des Intervalls I sollen f und g gleiche Funktionswerte haben, dh. f(-2)=....=g(-2) und f(2)=....=g(2).
(ii) Sie sollen dort auch dieselbe Steigung haben, dh. f'(-2)=....=g'(-2) und ....
Hieraus solltest du dann die Koeffizienten a und b von g(x) berechnen können.
Give it a try
Bis dann
schachuzipus
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so leids mir tut--- ich blick da immer noch nicht durch:(
Also das mit den Nullstellen ist soweit klar;)
Mittlerweile habe ich auch verstanden das man das verhalten von f(x) gegen [mm] \pm\infty [/mm] beschreiben muss, steht ja auch im formelbuch drin.
Was mir bei den Asymptoten immer noch nicht klar ist, gibt es den bei einer funktion mehrere Asymptoten? Ich dachte es gibt nur eine... und in diesem Fall die X-achse [näherungsweise].
Das mit [mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty}f(x)=4 [/mm] hab ich aber verstanden, danke;)
So, nun häng ich aber bei c) fest... und versteh nicht wie man g bestimmt. Hatte erst die idee f(x)=g zu setzen, sah dann aber irgendwie falsch aus bzw. ich kam auf kein ergebnis. Das problem ist, wir haben gerade erst mit diesen gebrochen-rationalen Funktionen angefangen, sonst würde man ja einfach die steigung und schnittpunkt mit der y-achse von f(x) ablesen... oder? Aber keine ahnung wie das hier geht:(
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Hallo nochmal ![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
Ja eine Funktion kann mehrere Asymptoten haben, waagerechte, senkrechte und sogar schräge Asymptoten (Geraden) und Polynome als Asymptoten.
Senkrechte Asymptoten hast du an Postellen (Nullstellen des Nenners einer gebrochen rationalen Funktion - sofern sie nicht weghebbar sind)
Da deine Funktion keine Definitionslücken hat, kann es nur Asymptoten im Unendlichen geben, also für [mm] x\rightarrow\pm\infty
[/mm]
Der Graph deiner Funktion [mm] f(x)=4-\bruch{48}{x^2+12} [/mm] wird für [mm] x\rightarrow\pm\infty [/mm] durch die Asymptote y=4 beliebig nahe angenähert,
y=4 ist also eine [mm] \bold{waagerechte} [/mm] Asymptote zu f.
Ich packe den Funktionsgraphen mal in den Anhang, dann siehste das mal konkreter
zu (c):
Nun, das steht eigentlich alles - bis aufs Ausrechnen - in meinem obigen post, aber gut: [mm] g(x)=ax^4+bx^2
[/mm]
Also an den Rändern der Intervalls I=[-2;2] sollen f und g dieselben Funktionswerte haben, also [mm] f(-2)=4-\bruch{48}{(-2)^2+12}=4-3=1
[/mm]
Ebenso [mm] f(2)=4-\bruch{48}{2^2+12}=1
[/mm]
also [mm] 1=f(-2)=g(-2)=a(-2)^4+b(-2)^2=16a+4b [/mm] und 1=f(2)=g(2)=16a+4b
also haben wir schonmal 2 Gleichungen:
(1) [mm] (g(2)=)\red{16a+4b=1}
[/mm]
(2) [mm] (g(-2)=)\red{16a+4b=1}
[/mm]
Nun die andere Info verwenden: Die Funktionen sollen an den Rändern -2 und 2 dieselbe Steigung haben. Die Steigung an diesen Stellen ist aber gerade die Ableitung von f und g an diesen Stellen.
Also [mm] f'(x)=\bruch{96x}{(x^2+12)^2} [/mm] und [mm] g'(x)=4ax^3+2bx
[/mm]
Nun verfahre wie oben, dann solltest du eine dritte und vierte Gleichung erhalten.
Mit den 4 Gleichungen solltest du dann aber die Koeffizienten a und b berechnen können
Gruß
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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hey, danke für die schnelle antwort;)
zu c)
hm... is ja einfach... wär ick ja nie drauf gekommen^^
aber trotzdem noch ne frage... :(
also, bei der Ableitung von f(x) blicke ich nicht so ganz durch... kannste mir mal erklären wie du auf [mm] f'(x)=\bruch{96x}{(x^2+12)^2} [/mm] kommst? [sorry aber ist für mich wichtig... abirelevant:(]
Ich hätte das nämlich n bisschen anders abgeleitet, und zwar so:
[mm] f'(x)=[4-\bruch{48}{12}*x^{-2}]' [/mm] (es gilt ja [mm] x^{-n}=\bruch{1}{x^{n}})
[/mm]
[mm] =-\bruch{48}{12}*(-2)*x^{-3}
[/mm]
[mm] =8*\bruch{1}{x^{3}}=\bruch{8}{x^{3}}
[/mm]
... bin mir aber auch nicht sicher, ob meine variante stimmt, ist für mich aber eher nachvollziehbar...
Jedenfalls wenn ich dann in f'(x) wieder 2/-2 einsetze, komm ich bei deiner ableitung auf total schiefe gleichungen:
(3) -1,69a-1,5b
(4) 1,69a+1,5b [vlt. hab ich ja was falsch gemacht...]
jedenfalls mit meiner ableitung komme ich wieder auf 1, demnach würden die gleichungen dann so aussehen:
(3) -4a-2b=-1
(4) 4a+2b=1
was is denn nun richtig?
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> hey, danke für die schnelle antwort;)
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> zu c)
>
> hm... is ja einfach... wär ick ja nie drauf gekommen^^
> aber trotzdem noch ne frage... :(
> also, bei der Ableitung von f(x) blicke ich nicht so ganz
> durch... kannste mir mal erklären wie du auf
> [mm]f'(x)=\bruch{96x}{(x^2+12)^2}[/mm] kommst? [sorry aber ist für
> mich wichtig... abirelevant:(]
> Ich hätte das nämlich n bisschen anders abgeleitet, und
> zwar so:
> [mm]f'(x)=[4-\bruch{48}{12}*x^{-2}]'[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") (es gilt ja
> [mm]x^{-n}=\bruch{1}{x^{n}})[/mm]
>
> [mm]=-\bruch{48}{12}*(-2)*x^{-3}[/mm]
> [mm]=8*\bruch{1}{x^{3}}=\bruch{8}{x^{3}}[/mm]
> ... bin mir aber auch nicht sicher, ob meine variante
> stimmt, ist für mich aber eher nachvollziehbar...
Hi,
wie ziehst du denn das [mm] x^2 [/mm] aus der Summe nach oben und schreibst es als Multiplikation dahinter? Das ist mir aber schleierhaft ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Die Ableitung von f geht nach der Summen- und Quotientenregel:
Ist [mm] h(x)=\bruch{u(x)}{v(x)}, [/mm] so ist [mm] h'(x)=\bruch{u'(x)\cdot{}v(x)-u(x)\cdot{}v(x)}{\left(v(x)\right)^2},
[/mm]
also hier [mm] f(x)=4-\bruch{48}{x^2+12}
[/mm]
[mm] \Rightarrow f'(x)=(4)'-\left(\bruch{48}{x^2+12}\right)' [/mm] [Summenregel]
[mm] =0-\bruch{0\cdot{}(x^2+12)-(48\cdot{}2x)}{(x^2+12)^2} [/mm] [Quotientenregel]
[mm] =\bruch{96x}{(x^2+12)^2}
[/mm]
ok soweit?
Gruß
schachuzipus
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ja, okay soweit;) dachte man könnte das so machen, wie ich geschrieben habe... aber auch egal, hab die quotientenregel erst grad gesehen, sonst hät ichs gleich so gemacht...
also komme ich jetzt auf folgende 4 gleichungen:
1. 16a+4b=1
2. 16a+4b=1
3+ -1,6875a-1,5b=-0,75
4. 1,6875a+1,5b=0,75
irgendwie passen Gleichung 3./4. für mich nicht ins gesamtbild, glaub das is irgendwas falsch... komme aber auf kein anderes Ergebnis, wenn ich in f'(x) 2 bzw. -2 einsetze...
ich weiß das man nun nach a oder b probieren müsste, aufzulösen... sieht aber relativ chancenlos aus bei den gleichungen---- außer man nimmt irgendwelche ellenlangen kommerzahlen... kann das denn stimmen???
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> ja, okay soweit;) dachte man könnte das so machen, wie ich
> geschrieben habe... aber auch egal, hab die quotientenregel
> erst grad gesehen, sonst hät ichs gleich so gemacht...
>
> also komme ich jetzt auf folgende 4 gleichungen:
>
> 1. 16a+4b=1
> 2. 16a+4b=1
> 3+ -1,6875a-1,5b=-0,75
> 4. 1,6875a+1,5b=0,75
>
> irgendwie passen Gleichung 3./4. für mich nicht ins
> gesamtbild, glaub das is irgendwas falsch... komme aber auf
> kein anderes Ergebnis, wenn ich in f'(x) 2 bzw. -2
> einsetze...
> ich weiß das man nun nach a oder b probieren müsste,
> aufzulösen... sieht aber relativ chancenlos aus bei den
> gleichungen---- außer man nimmt irgendwelche ellenlangen
> kommerzahlen... kann das denn stimmen???
Hmm,
ich hab's mit Brüchen gerechnet,
Es soll sein f'(2)=g'(2), f'(2) ist = [mm] \bruch{3}{4}, [/mm] das war ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
also mit [mm] g'(x)=4ax^3+2bx
[/mm]
[mm] \Rightarrow g'(2)=4a2^3+2b2=\red{32a+4b=\bruch{3}{4}}
[/mm]
Die andere brauchen wir gar nicht - wir hatten oben mal Gleichung (1) ermittelt: [mm] \red{16a+4b=1}
[/mm]
So mit den beiden roten Gleichungen können wir doch a und b berechnen.
Die erste mal umgestellt:
[mm] 32a+4b=\bruch{3}{4} \Rightarrow 32a=\bruch{3}{4}-4b \Rightarrow a=\bruch{3}{128}-\bruch{1}{8}b
[/mm]
Das nun in die Gleichung 16a+4b=1 einsetzen und b ausrechnen, dann das errechnete b dann wieder einsetzen, um a auszurechnen.
Ich packe dir mal die Graphen von f und g in den Anhang, dann kannste die Infos aus der Aufgabenstellung mal am Schaubild nachvollziehen
Hoffe, du kommst damit nun ans Ziel
Bis dann
schachuzipus
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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okay, XXL danke nochmal;)
Habe meinen Fehler in den Gleichungen oben gefunden und bin jetzt auf
[mm] g(x)=-\bruch{1}{64}x^{4}+\bruch{5}{16}x^{2} [/mm] gekommen, die werte tabelle und meine Zeichnung sehen logischer weise genauso aus wie dein angehängter graph, danke dafür;)
muss aber noch ein letztes mal fragen... :( (bin zum glück nicht der einzigste aus unserem kurs, der solch extreme probleme mit der aufgabe hat...)
Was ich jetzt nochmal wissen wollte, ein bisschen weiter oben hatte ich ja b) berechnet, stimmt das denn? [habs hier nochmal gepostet [mm] \vee]
[/mm]
zu b)
- Breite => man soll ja die Flussbreite berechnen... da
dachten wir uns spontan, da die höhe [=y] = 2 gegeben ist,
setzten wir f(x)=2 und lösen nach x auf, da kommen wir auf
[mm] \wurzel{12}, [/mm] was auch in unsere Zeichnung passt. Das dann
*2 ergibt die Flussbreite = 6,9m oder geht diese Theorie
nicht auf?
So, dann müsst ich nur noch d) berechnen... okay, also hab ich mir nochmal den Graphen von g genauer angeguckt, die aufgabe... hm... was mich wundert, wir sollen ja eine Flussbreite von 6m nehmen und eine länge von 1000m [1km]. Muss ich das jetzt mit einem [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] berechnen? wüsste jetzt nicht wie man das machen soll---
aber dann müsste man f(x) ja auch wieder aufleiten... glaub das wäre ein bisschen zu kompliziert oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 So 18.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Fluss breite b in b) mit [mm] b=2*\wurzel{12} [/mm] war richtig.
in d) musst du wirklich g(x) (nicht f(x)) von -3 bis +3 integrieren, das ne rationale fkt ist, ist das doch einfach.
die Flaeche in [mm] m^2 [/mm] angeben und mit 1km=1000m multipl. fuer das Volumen.
Solltest du schnell haben.
Zu weiter vorn: statt Quotientenregel ist hier einfacher du schreibst
[mm] f(x)=4-48*(x^2+12)^{-2} [/mm] und leitest nach der Kettenregel ab!
Gruss leduart
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so, danke soweit:D
eine letzte frage hät ich noch:
Man kann ja die y-achsensymmetrie von g(x) nutzen und dann das integral [mm] 2*\integral_{0}^{3}{g(x) dx} [/mm] berechnen... da komm ich auf [mm] 4,1m^{2}.
[/mm]
Seh ich das richtig das ich dann ein Wasservolumen von
4,1*1000 = 4100 l [?] habe?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Mo 19.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Rechnung richtig, aber in [mm] m^3 [/mm] nicht l es sind 1000mal soviel l!
Gruss leduart
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okay, muss nochmal ein dickes danke an alle auspsprechen:D
thx ohne euch hät icks nicht geschaft... aber verstehe das jetzt alles;)
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