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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:07 Sa 23.09.2006 | | Autor: | LPlady |
Ich verstehe nicht wirklich wie ich bei dieser aufgabe, bei dem Punkt Polstellen und Lücken den Limes der Polstelle ausrechnen kann bzw. wie ich zu diesem ergebnis komme:
[mm] \limes_{x \to {5} \pm} \bruch{5(x+2)}{3(x-5)} [/mm] = [mm] \pm \infty
[/mm]
genauer, warum [mm] \pm \infty
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 Sa 23.09.2006 | | Autor: | ccatt |
Hallo,
> Ich verstehe nicht wirklich wie ich bei dieser aufgabe,
> bei dem Punkt Polstellen und Lücken den Limes der Polstelle
> ausrechnen kann bzw. wie ich zu diesem ergebnis komme:
> [mm]\limes_{x \to {5} \pm} \bruch{5(x+2)}{3(x-5)}[/mm] = [mm]\pm \infty[/mm]
Wenn ich dich richtig verstanden habe, möchtest du die Polstellen (senkrechte Asymptote) und das Verhalten für x gegen [mm]\pm \infty[/mm] (waagerechte Asymptote) der Funktion bestimmen.
Du erhälst die Polstellen wenn du den Nenner = 0 setzt, also [mm]3(x-5) = 0[/mm]
Und das Verhalten für x gegen [mm]\pm \infty[/mm] erhältst du in dem du dir den Grad der Zähler- und Nennerfunktion anschaust. Dabei gibt es 3. Fälle:
n = Grad der Zählerfunktion, m = Grad der Nennerfunktion
1. n < m
2. n = m (Dies ist dein Fall, da [mm] x^1=x^1)
[/mm]
3. n > m
Um jetzt zu berechnen, was die waagerechte Asymptote ist, musst du bei der Funktion die Klammern auflösen und dann im Zähler und im Nenner x ausklammern. Dann steht da:[mm]f(x) = \bruch{x(5+\bruch{10}{x})}{x(3-\bruch{15}{x})}[/mm] Nun kürzt du das x im Zähler und im Nenner weg und es bleibt übrig:
[mm] \limes_{n\rightarrow\pm\infty}(\bruch{5+\bruch{10}{x}}{3-\bruch{15}{x}})
[/mm]
Da nun [mm] \bruch{10}{x} [/mm] und [mm] \bruch{15}{x} [/mm] gegen 0 gehen, fallen diese weg und als waagerechte Asymptote beim [mm]y=\bruch{5}{3}[/mm]
So ich hoffe, dass dich das weiterbringt.
ccatt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Sa 23.09.2006 | | Autor: | LPlady |
> > [mm]\limes_{x \to {5} \pm} \bruch{5(x+2)}{3(x-5)}[/mm] = [mm]\pm \infty[/mm] das ist schon die gekürzte form
also die eigentliche funktion lautet:
f(x) = [mm] \bruch {5x^2-5x-30}{3x^2-24x+45}
[/mm]
ich habe die polstelle und lück ausgerechnet und habe da die lück bei 3, und die polstelle bei 5. Danach habe ich die lücke behoben und da [mm] 4,\tilde [/mm] 16 raus.
da is der limes auch kein problem für mich aber bei der polstelle muss ich ja nach unendlich rechnen und ich vertehe einfach nicht wie!
das hat ja nach meinem verständnis noch nichts mit der asymptote zu tun!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Sa 23.09.2006 | | Autor: | ccatt |
Sorry, hab dich bei meiner Antwort falsch verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 Sa 23.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
wie ich sehe hast du schon alles richtig ausgerechnet. Wo allerdings der Term [mm] \limes_{x \to {5} \pm} \bruch{5(x+2)}{3(x-5)} [/mm] herkommt, weiß ich nicht. Da sehe ich überhaupt keinen Zusammenhang zwischen dem Originalterm und diesem. Also der Originalterm in faktorisierter Form sieht so aus: [mm] f(x)=\bruch{(x-3)(x+2)}{(x-3)(x-5)}
[/mm]
Nun sieht man sofort wo die Polstellen liegen, jedoch handelt es sich bei der Polstelle bei x=3 um eine stetig behebbare Polstelle oder sog. Definitionslücke. Der Graph hat also wirklich nur eine Polstelle und zwar bei x=5. Allerdings bleibt der Definitionsbereich nach wie vor der gleiche, also [mm] D=\IR\backslash\{3;5\}. [/mm] Denn der Definitionsbereich wird immer am Anfang festgelegt auch wenn man eine stetig hebbare Definitionslücke hat.
Dies ist also schonmal geklärt. Was du damit meinst "Danach habe ich die lücke behoben und da $ [mm] 4,\tilde [/mm] $ 16 raus." kann ich nicht nachvollziehen!
So, nun geht es darum zu schauen, wie sich der Graph in der Nähe der Polstelle bei x=5 verhält wenn man sich an 5 annähert. Man muss das so verstehen, dass man unendlich nah an den Wert 5 herangeht aber ihn nie erreicht, weil genau für den Wert x=5 gibt es keinen Funktionswert, weil dieser mathematisch nicht definiert ist, weil der Nenner dort 0 werden würde und eine Division durch 0 ist bekanntlich nicht definiert.
Dies ist allerdings schwer zu bewerkstelligen, deshalb setzt man den Wert x=5 trotzdem in die Funktionsgleichung ein setzt aber den limes davor mit der Grenze x=5 damit man sieht, das dieser Wert nicht erreicht wird sondern nur angenähert wird. Weil wie sollte man es sonst machen!
Also, zuerst nähert man sich von links gegen den Wert x=5, das heißt, dass unter dem limes Zeichen eigentlich auf dem Pfeil zusätzlich ein < Zeichen steht, um eben anzudeuten das man sich von links her annähert. So,
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 5} \bruch{(x+2)}{(x-5)}=\limes_{x\rightarrow\ 5} \bruch{(5+2)}{(5-5)} [/mm] (wobei zu beachten ist, das die 5 im Nenner eigentlich nicht 5 ist, sondern eine Zahl ganz nah bei 5 also z.B. 4,999999999....Damit wird der Nenner aber nicht ganz 0 sondern nur "fast" 0 und auch nicht nur 0 sondern -0 denn 4,9999999... ist kleiner als 5, demnach wird der Nenner negativ.) Also gehts weiter: [mm] \limes_{x\rightarrow\ 5} \bruch{(5+2)}{(5-5)}=\limes_{x\rightarrow\ 5} \bruch{7}{-0}=-\infty
[/mm]
Das war der erste Teil!
Der Zweite Teil geht genauso, nur das man sich von der rechten Seite her an x=5 annähert. Dies wird angedeutet indem man auf den Pfeil unter dem lim Zeichen ein > Zeichen draufsetzt. Und man geht auch nicht bis 5 sondern nur bis ganz nah an 5 heran,also wieder in etwa bis 5,000000000...1. Somit läuft der Nenner gegen 0 aber diesmal gegen +0 denn diesmal ist 5,000 usw. größer also 5. Und der Limes wird diesmal nicht [mm] -\infty [/mm] sondern [mm] +\infty.
[/mm]
Im Großen und Ganzen heisst das alles nichts anderes, als das der Graph wenn man sich an 5 annähert einmal gegen -Unendlich und einmal gegen +Unendlich läuft, also Funktionswerte annimmt, die so groß sind, dass man sie nicht mehr als Ziffer angibt, sondern sagt, sie streben gegen unendlich.
Dies ist eigentlich der ganze Trick dabei.
Ich hoffe ich konnte dir einigermaßen begreiflich machen, wie man es macht und warum es so gemacht wird.
Gruß,
clwoe
Also:
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Sa 23.09.2006 | | Autor: | LPlady |
das hat mir schon ne ganze menge weitergeholfen aber was ich immer noch nicht weiß warum [mm] \pm \infty [/mm] und nicht [mm] \mp \infty
[/mm]
denn ich habe bei anderen aufgabe das ergebnis [mm] \mp [/mm] von meinem Lehrer bekommen
ist das im grunde egal und kann ich dann einfach [mm] \pm [/mm] überall hinschreiben??
zu der gekürzten form vorhin von dir, du hast die zahlen : [mm] \bruch{5}{3} [/mm] vor den klammern vergessen! Aber is ja nicht schlimm!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Sa 23.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ob nun [mm] \pm\infty [/mm] oder [mm] \mp\infty [/mm] schreibst, ist egal, hauptsache du schreibst zum richtigen lim das richtige unendlich. Denn wenn du von links an 5 herangehst, läuft der Graph nunmal gegen - unendlich und wenn du von rechts rangehst nunmal gegen + unendlich. Das ist schon wichtig, außerdem ist dies ja auch aus der Rechnung, die ich dir geschrieben habe ersichtlich. Die 5 und die 3 in deinem Term habe ich nicht vergessen, denn die gehören da gar nicht hin!!! Wenn du mit Hilfe der Formel für quadratische Gleichungen die 0-Stellen des Zählers und des Nenners ausrechnest, kannst du den Term so angeben wie ich dir vorhin geschrieben habe. Die 5 und die 3 vor den jeweiligen Klammern sind dann schon mit berücksichtigt. Du kannst auch zuerst aus beiden, also Zähler und Nenner jeweils die 5 und die 3 ausklammern und dann die Lösungsformel anwenden, aber es ist nicht unbedingt notwendig.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Sa 23.09.2006 | | Autor: | LPlady |
Ok danke, du hast mir sehr viel weiter geholfen, ich glaube ich habe es jetzt verstadnen!!
Aber nochmal ne frage zwischen durch: Ich bräuchte noch hilfe bei dem errechnen bzw. erstellen der Ersatzfunktion!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Sa 23.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
was bitte ist eine Ersatzfunktion??? Meinst du vielleicht die Ableitung???
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 Sa 23.09.2006 | | Autor: | LPlady |
Man bekommt ja am anfang die Funktionsgleichung f(x) und rechnet ja zunächast mit dieser. Ab Polstellen und Lücken rechnen wir mit einer so genannten Ersatzfunktion g(x), die wir von irgendwo her bekommen, aber leider habe ich in dieser Stunde nicht richtig aufgepasst und weiß somit nicht wie man diese erstellt!
Falls es dir hilft kann ich dich auch mal ein ein bsp. sachreiben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Sa 23.09.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
schreib am besten mal ein Beispiel, denn ich habe keine Ahnung was mit einer Ersatzfunktion gemeint ist.
Gruß,
clwoe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Sa 23.09.2006 | | Autor: | LPlady |
Also ich schreib dir mal so im groben die ergebisse von einer aufgabe auf!
f(x) = [mm] \bruch {3x^2+3x-18}{4x^2-28x+40}
[/mm]
1. Def.bereich D=R [mm] \{5;2}
[/mm]
3. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:
Sy (0/-0,45) ; [mm] Sx_1 [/mm] (2/0) ^ [mm] Sx_2 [/mm] (3/0)
4. Polstellen und Lücken:
Polstelle bei 5
Lücke bei 2
[mm] \limes_{x \to {2} \pm} \bruch{3x^2+3x-18}{4x^2-28x+40} [/mm] = [mm] \bruch{3(x+3)(x+2)}{4(x-5)(x+2)} [/mm] = [mm] \bruch{3(x+3)}{4(x-5)} [/mm] = [mm] \bruch{15}{-12} [/mm] = -1,25
[mm] \limes_{x \to {5} \pm} \bruch{3(x+3)}{4(x-5)} [/mm] = [mm] \pm \infty
[/mm]
Und hier wurde mit der ersatzfunktion gerechnet: g(x) = [mm] \bruch{3(x+3)}{4(x-5)} [/mm] = [mm] \bruch{3x+9}{4x+20}
[/mm]
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