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| Aufgabe | | Das Querschnittprofil eines Bergwerkstollens entspricht angenähert dem Flächenstuck, das vom Graphen der Funktion f(x) = [mm] (25x-x^2)/(8+x^2) [/mm] sowie der Abszissenachse begrenzt wird (Angabe in m). Der Stollen soll aus Sicherheitsgründen so ausgemauert werden, dass sich eine rechteckige Querschnittsfläche maximalen Inhalts ergibt. - Geben Sie die Abmessungen an. |
Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Die Lösungen sagen nur:
A(x) = 2x * [mm] $((25-x^2)/(8+x^2))$
[/mm]
A'(x) = 0 führt auf [mm] x^4 [/mm] + [mm] 49x^2 [/mm] - 200 = 0 mit x = 1,95 ergeben sich die Abmessungen 3,9m x 1,8m
Aber wie kommen die in die Lösungen auf A(x) ?. Der Rest ist mir eigentlich klar. Wo kommen die 2x her und warum verschwindet das x im Zähler bei der 25?
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Hi, Peter,
> Das Querschnittprofil eines Bergwerkstollens entspricht
> angenähert dem Flächenstuck, das vom Graphen der Funktion
> f(x) = [mm](25x-x^2)/(8+x^2)[/mm] sowie der Abszissenachse begrenzt
> wird (Angabe in m). Der Stollen soll aus Sicherheitsgründen
> so ausgemauert werden, dass sich eine rechteckige
> Querschnittsfläche maximalen Inhalts ergibt. - Geben Sie
> die Abmessungen an.
> Ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Die
> Lösungen sagen nur:
> A(x) = 2x * [mm]((25-x^2)/(8+x^2))[/mm]
> A'(x) = 0 führt auf [mm]x^4[/mm] + [mm]49x^2[/mm] - 200 = 0 mit x = 1,95
> ergeben sich die Abmessungen 3,9m x 1,8m
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> Aber wie kommen die in die Lösungen auf A(x) ?. Der Rest
> ist mir eigentlich klar. Wo kommen die 2x her und warum
> verschwindet das x im Zähler bei der 25?
Das x im Zähler kam mir gleich seltsam vor! Das ergäbe in Hinblick auf den Tunnel keinen Sinn! Hier liegt mit Sicherheit ein Schreibfehler Deinerseits vor!
Wenn Du Dir den Tunnel nun (ohne das x bei der 25!) mal skizzierst, siehst Du: Der liegt ja symmetrisch zur y-Achse!
Das Rechteck, das Du drunter einzeichnest, ist folglich ebenfalls symmetrisch.
Die 4 Eckpunkte des Rechtecks sind:
(x; 0); (x; f(x)); (-x; f(-x)) und (-x; 0)
(mit 0 < x < 5).
Die Breite des Rechtecks ist demnach: 2*x,
die Höhe des Rechtecks ist: f(x),
demnach die Rechtecksfläche: A(x) = 2x*f(x). (0 < x < 5)
Alles klar?
mfG!
Zwerglein
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