Geburtsmonat: 13 Mathematiker < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In Anlehnung an Thread 287040 kam mir folgende Aufgabe in den Sinn:
13 Mathematiker treffen sich zu einer Sitzung. Aber sie können sich nicht einigen, wer den Vorsitz übernehmen und wer Protokoll führen soll.
Nun kommt man überein, dass jeder einzeln den Sitzungssaal betreten und dabei seinen Geburtsmonat nennen soll. Sobald 2 Leute mit dem gleichen Geburtsmonat im Saal sind, soll derjenige, der von beiden als erster den Saal betreten hat, Protokoll führen und der andere den Vorsitz übernehmen.
Frage:
An wievielter Stelle sollte man den Saal betreten, um eine größtmöglche Chance auf die Protokollführung bzw. auf den Vorsitz zu haben?
Hinweis: Die 13 Mathematiker wissen vorher nicht, wer von ihnen im gleichen Monat Geburtstag hat |
Für die Protokollführung ist es klar:
Da hat der erste die besten Chancen. Weil er ja bei jedem neu-Eintretenden mitspielt.
Für den Vorsitz:
Da hat der erste wiederum gar keine Chance.
Je später man den Saal betritt, desto größer ist die Chance auf den Vorsitz. ABER es könnte ja dann wiederum auch sein, dass sich schon vorher ein "Pärchen" gefunden hat.
Nehmen wir den allerletzen (13.): Wenn sich bis dahin kein "Pärchen" gefunden hat, dann hat er zu 100% den Vorsitz. Aber es ist wiederum unwahrscheinlich, dass die ersten 12 alle in einem unterschiedlichen Monat Geburtstag haben.
An welcher Stelle hat man also die beste Aussicht auf den Vorsitz?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:52 Di 07.08.2007 | | Autor: | Schnien |
Ich würde sagen, dass man als 4. oder 5. reingehen sollte, wenn man den Vorsitz haben will. Für die Berechnung habe ich die bedingte Wahrscheinlichkeit benutzt. Gegeben sei folgende Ereignisse:
Ai: Das Ereignis, dass die i-te Person, die eintritt, als im gleichen Monat Geburtstag hat, wie die eine der i-1 Personen, die zuvor eingetreten sind.
Bi: Das Ereignis, dass beim Eintritt der i-ten Person, die zuvor eingetretenen i-1 Personen alle an unterschiedlichen Monaten Geburtstag haben.
Gesucht ist demnach: P(Ai [mm] \cap [/mm] Bi) = P(Bi) * P(Ai | Bi) (bedingte Wahrscheinlichkeit)
P(Bi) = 12*11*...*(12-(i-2)) / 12^(i-1), i [mm] \ge [/mm] 2
P(Ai | Bi) = (i-1)/12
Durch Nachrechnen komme ich zu dem Ergebnis, das sowohl die 4. als auch die 5. Person mit 19,1% die größten Chancen auf den Vorsitz haben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Di 07.08.2007 | | Autor: | Gilga |
Deine Rechnung erscheint mir etwas sonderbar. Setzt man große Werte für i ein so kommen W'keiten größer eins raus.
P(ich betrete als nummer i den raum und bekomme vorsitz)=
P(einer der i-1 Personen im Raum hat im gleichen Monat wie ich Geburtstag|keiner der i-1 personen im Raum haben im gleichen Monat)*P(keiner der i-1 personen im Raum haben im gleichen Monat)
... die rechnung spar ich mir jetzt mal ..... Maple sagt.
0
0.0833333333
0.1597222222
0.1930499293
0.1902417890
0.1612119554
0.1202936368
0.08004520839
0.04785789573
0.02583517145
0.01263430307
0.005610502842
0.002266321288
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Di 07.08.2007 | | Autor: | rabilein1 |
Danke an euch beiden.
Die Ergebnisse und auch die Rechenwege erscheinen mir plausibel.
Diese Aufgabe ist schon fast so etwas wie eine "Extremwertaufgabe in der Wahrscheinlichkeitsrechnung": Wer früh den Raum betritt, hat das Problem, dass zu wenig Leute darin sind, die den Geburtsmonat haben. Doch wer sehr spät kommt, für den ist die Sache schon gelaufen. Da gehen die Wahrscheinlichkeiten auf den Vorsitz immer weiter zurück, wie die Aufstellung schön zeigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:56 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Schnien |
Es scheint mir, als ob wir das gleiche gerechnet haben. Meine Formel gilt natürlich nur für 2 [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] 13. Für i > 13 ist P(Bi) = 0. Nur wunderts mich, das du für die 4. und die 5. Person doch etwas unterschiedliche Werte raus hast.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Mi 08.08.2007 | | Autor: | DirkG |
An sich hat Schnien alles richtig erläutert, ich will in Ergänzung nur noch mal auch auf die Wahrscheinlichkeiten für die Protokollführung eingehen - dass die für Person 1 am höchsten ist, wurde oben bereits im Eröffnungsbeitrag gesagt. Die genaue Berechnung dieser Wkten für alle Personen ist aber selbstverständlich auch möglich:
Man kriegt alles vollständig in den Griff, wenn man die Ereignisse
[mm] [quote]$E_{i,j}$ [/mm] ... bei Person $i$ taucht erstmals ein doppelter Geburtsmonat auf [mm] ($i=2,\ldots,13$), [/mm] und dieser Monat stimmt mit dem Geburtsmonat der vorherigen Person $j$ überein [mm] ($j=1,\ldots,i-1$)[/quote]
[/mm]
betrachtet. Diese Ereignisse bilden eine disjunkte Zerlegung des gesamten W-Raumes, d.h. gemäß [mm] $\Omega [/mm] = [mm] \bigcup\limits_{i=2}^{13} \bigcup\limits_{j=1}^{i-1} E_{i,j}$. [/mm] Zusammen mit [mm] $P(E_{i,j}) [/mm] = [mm] \frac{12!}{(13-i)!\cdot 12^i}$ [/mm] ergeben sich dann für
[mm] $F_i [/mm] = [mm] \bigcup\limits_{j=1}^{i-1} E_{i,j}$ [/mm] ... Vorsitz für Person $i$ [mm] ($i=2,\ldots,13$)
[/mm]
[mm] $G_j [/mm] = [mm] \bigcup\limits_{i=j+1}^{13} E_{i,j}$ [/mm] ... Protokollführung für Person $j$ [mm] ($j=1,\ldots,12$)
[/mm]
die Wahrscheinlichkeiten
[mm] $$P(F_i) [/mm] = [mm] \sum\limits_{j=1}^{i-1} \frac{12!}{(13-i)!\cdot 12^i} [/mm] = [mm] \frac{12!\cdot (i-1)}{(13-i)!\cdot 12^i},\qquad i=2,\ldots,13$$
[/mm]
sowie
[mm] $$P(G_j) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=j+1}^{13} \frac{12!}{(13-i)!\cdot 12^i},\qquad j=1,\ldots,12\; [/mm] .$$
Letztere Summe lässt sich abgesehen vom Rausziehen einiger Faktoren wohl nicht wesentlich vereinfachen - zumindest sehe ich es nicht. Aber für die paar $j$ kann man das ja auch von Hand (oder CAS) ausrechnen... 
Gruß,
Dirk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Mi 08.08.2007 | | Autor: | Schnien |
Danke für die ausführliche Beschreibung!
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