Geburtstagsparadoxon < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Mo 01.06.2009 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | | In einem Raum befinden sich n zufällige Personen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben alle an unterschiedlichen Tagen Geburtstag? |
Hallo!
Ich muss für meinen Vortrag im Proseminar unter anderem auch das Geburtstagsparadoxon beweisen. Könnt ihr euch kurz mal anschauen, ob folgender Beweis richtig ist:
Sei der Wahrscheinlichkeitsraum Omega = { 1,...,365 } ^{n} = { [mm] \omega|\omega=(\omega_{1},...,\omega_{n}); \omega_i \in [/mm] {1,...,365} }.
Dann gilt: |Omega| = [mm] 365^{n}
[/mm]
Sei A das Ereignis "jeder hat an einem anderen Tag Geburtstag"
-> A= { [mm] \omega \in [/mm] Omega ; [mm] \omega_{i} \not= \omega_{j} [/mm] für i [mm] \not= [/mm] j }
Dann gilt: |A|=365*364*...*(365-(n-1))
Also gilt für P(A):
P(A) := [mm] \bruch{|Omega|}{|A|} [/mm] = [mm] \bruch{365}{365} [/mm] * [mm] \bruch{364}{365} [/mm] * ... * [mm] \bruch{365-(n-1)}{365}
[/mm]
= (1- [mm] \bruch{0}{365}) [/mm] * (1- [mm] \bruch{1}{365}) [/mm] * ... * (1- [mm] \bruch{n-1}{365})
[/mm]
= [mm] \produkt_{i=0}^{n-1} [/mm] (1- [mm] \bruch{i}{365})
[/mm]
Ich hab schon im Internet geschaut und hab da viel kompliziertere Beweise mit bedingten Wahrscheinlichkeiten etc. gefunden. Aber geht es nicht einfach auch auf diesem Wege? Oder hab ich irgendwo nen Denkfehler??
Vielen Dank schon mal für eine Antwort!
LG Leni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:58 Mo 01.06.2009 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> In einem Raum befinden sich n zufällige Personen. Mit
> welcher Wahrscheinlichkeit haben alle an unterschiedlichen
> Tagen Geburtstag?
> Hallo!
>
> Ich muss für meinen Vortrag im Proseminar unter anderem
> auch das Geburtstagsparadoxon beweisen. Könnt ihr euch kurz
> mal anschauen, ob folgender Beweis richtig ist:
>
> Sei der Wahrscheinlichkeitsraum Omega = { 1,...,365 } ^{n}
> = { [mm]\omega|\omega=(\omega_{1},...,\omega_{n}); \omega_i \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> {1,...,365} }.
>
> Dann gilt: |Omega| = [mm]365^{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Sei A das Ereignis "jeder hat an einem anderen Tag
> Geburtstag"
>
> -> A= { [mm]\omega \in[/mm] Omega ; [mm]\omega_{i} \not= \omega_{j}[/mm] für
> i [mm]\not=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
j }
>
> Dann gilt: |A|=365*364*...*(365-(n-1))
>
> Also gilt für P(A):
>
> P(A) := [mm]\bruch{|Omega|}{|A|}[/mm] = [mm]\bruch{365}{365}[/mm] *
> [mm]\bruch{364}{365}[/mm] * ... * [mm]\bruch{365-(n-1)}{365}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> = (1- [mm]\bruch{0}{365})[/mm] * (1- [mm]\bruch{1}{365})[/mm] * ... * (1-
> [mm]\bruch{n-1}{365})[/mm]
>
> = [mm]\produkt_{i=0}^{n-1}[/mm] (1- [mm]\bruch{i}{365})[/mm]
Auch richtig, gefällt mir aber weniger. Für n<366 kann man dafür auch schreiben
[mm]\bruch{365!}{(365-n)!*365^n}[/mm]
Gruß Abakus
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> Ich hab schon im Internet geschaut und hab da viel
> kompliziertere Beweise mit bedingten Wahrscheinlichkeiten
> etc. gefunden. Aber geht es nicht einfach auch auf diesem
> Wege? Oder hab ich irgendwo nen Denkfehler??
>
> Vielen Dank schon mal für eine Antwort!
>
> LG Leni
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