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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Di 11.12.2012 | | Autor: | Basser92 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Differentialgleichung [mm] x''+2\gamma x'+\omega_{0}^{2}x=0 [/mm] mit [mm] \gamma [/mm] , [mm] \omega_{0}>0.
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass der Ansatz [mm] x(t)=a*e^{kt} [/mm] die Gleichung löst und bestimmen Sie die möglichen Werte für k.
b) Zeigen SIe, dass es drei unterschiedliche Fälle geben kann (Schwingung, aperiodischer Grenzfall, Dämpfung) und bestimmen Sie ein Kriterium wann diese Fälle zutreffen. |
Wie zeige ich, dass Der Ansatz die Gleichung löst? Die Werte für k habe ich schon bestimmt. Und wie komme ich dann auf die verschiedenen Fälle? Hab da leider in den Vorlesungsmitschriften nichts gefunden...
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Hi!
> Gegeben sei die Differentialgleichung [mm]x''+2\gamma x'+\omega_{0}^{2}x=0[/mm]
> mit [mm]\gamma[/mm] , [mm]\omega_{0}>0.[/mm]
> a) Zeigen Sie, dass der Ansatz [mm]x(t)=a*e^{kt}[/mm] die Gleichung
Dann bilde doch mal die Ableitungen von $x(t)$ und setzte das in deine Differenzialgleichung ein.
Weiterhin solltest du die Nullstellen der entstehenden Gleichung Betrachten und diese interpretieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Di 11.12.2012 | | Autor: | Basser92 |
Als nullstellen hab ich jetzt [mm] t=\bruch{ln(ak^{2}+2\gamma ak+\omega_{0}^{2}a)}{k}.
[/mm]
Wenn es für alle t Null sein muss, muss [mm] k=-\gamma \pm \wurzel{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}} [/mm] sein, was ich ja schon berechnet hatte. Aber ich weiß net, was mir das alles jetzt sagen soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Di 11.12.2012 | | Autor: | Helbig |
> Als nullstellen hab ich jetzt [mm]t=\bruch{ln(ak^{2}+2\gamma ak+\omega_{0}^{2}a)}{k}.[/mm]
>
> Wenn es für alle t Null sein muss, muss [mm]k=-\gamma \pm \wurzel{\gamma^{2}-\omega_{0}^{2}}[/mm]
> sein, was ich ja schon berechnet hatte. Aber ich weiß net,
> was mir das alles jetzt sagen soll...
Hallo Basser92,
Deine beiden Nullstellen des charakteristischen Polynoms [mm] $k^2 [/mm] + [mm] 2\gamma [/mm] k [mm] +\omega_0^2$ [/mm] sind für [mm] $\gamma^2 \ge \omega_0^2$ [/mm] richtig bestimmt. Andernfalls hast Du die komplexen Nullstellen [mm] $k=-\gamma \pm i\sqrt {\omega_0^2 - \gamma^2}\,.$
[/mm]
Untersuche jetzt das Lösungsverhalten getrennt nach den drei Fällen
[mm] $\gamma^2 [/mm] < [mm] \omega_0^2$, $\gamma^2 [/mm] = [mm] \omega_0^2$ [/mm] und [mm] $\gamma^2 [/mm] > [mm] \omega_0^2\,.$
[/mm]
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Di 11.12.2012 | | Autor: | Basser92 |
Ich hab doch gar keine komplexen Nullstellen, wenn [mm] \gamma [/mm] und [mm] \omega_{0} [/mm] größer als 0 sind, wie es in der Aufgabenstellung steht?
Edit: Sorry, verlesen... Jetzt hab ich ja wieder was zum rechnen^^ Ich meld mich dann nochmal, wenn ich nicht mehr weiter komm ;)
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