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Ich beschäftige mich zur Zeit mit diskreten und stetigen Zufallsverteilungen, die von zwei Parametern abhängen (und deren erste und zweite Momente existieren).
Beispiele:
Normalverteilung
Paretoverteilung
Binomialverteilung
LogNormalverteilung
Laplaceverteilung etc.
Es ist hinlänglich bekannt und kann gezeigt werden, dass der Mittelwert und die Empirische Varianz geeignete Schätzer für [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma^{2} [/mm] sind.
Betrachten wir nun aber den Fall einer Verteilung, die nicht direkt von ihrem Erwartungswert und ihrer Varianz abhängt -wie das so schön bei der Normalverteilung der Fall ist- sondern von zwei anderen Parametern, die ihrerseits jedoch Argumente der Definition des Erwartungswertes, bzw. der Varianz sind.
Unter welchen Restriktionen sind für einen solchen Fall Funktionen des Mittelwertes und der Empirischen Varianz geeignete Schätzer für die Verteilungsparameter?
Hier ein konkretes Beispiel:
Die Paretoverteilung, sowie ihr Erwartungswert [mm] (\mu) [/mm] und ihre Varianz [mm] (\sigma^{2}) [/mm] sind wie folgt charakterisiert:
f(x) = [mm] \bruch{a*b^{a}}{x^{a+1}} [/mm] , b [mm] \le [/mm] x, a > 2
[mm] \mu [/mm] = [mm] \bruch{a*b}{a-1} [/mm] , für a > 1
[mm] \sigma^{2} [/mm] = [mm] \bruch{a*b^{2}}{(a-1)^{2}*(a-2)} [/mm] , für a > 2
Unter welchen Umständen bzw. Restriktionen ist es nun zulässig, eine Stichprobe aus einer solchen (in diesem Fall Paretoverteilung) zu ziehen, Mittelwert [mm] (\overline{x}) [/mm] und Empirische Varianz [mm] (s^{2}) [/mm] zu berechnen, diese dann als Schätzer für den Erwartungswert und die Varianz zu verwenden und die eigentlichen Verteilungsparamter (a und b) durch auflösen der obigen Gleichungen für [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma^{2} [/mm] zu schätzen?
Also explizit für dieses Beispiel:
a = [mm] \bruch{\sigma+\wurzel{\mu^{2}+\sigma^{2}}}{\sigma}, [/mm] bzw.
b = [mm] \bruch{\mu*\wurzel{\mu^{2}+\sigma^{2}}}{-\sigma+\wurzel{\mu^{2}+\sigma^{2}}},
[/mm]
wobei [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma^{2} [/mm] durch ihre Schätzer [mm] \overline{x} [/mm] bzw. [mm] s^{2} [/mm] ersetzt werden.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 Fr 16.07.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin
> Hier ein konkretes Beispiel:
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> Die Paretoverteilung, sowie ihr Erwartungswert [mm](\mu)[/mm] und
> ihre Varianz [mm](\sigma^{2})[/mm] sind wie folgt charakterisiert:
>
> f(x) = [mm]\bruch{a*b^{a}}{x^{a+1}}[/mm] , b [mm]\le[/mm] x, a > 2
>
> [mm]\mu[/mm] = [mm]\bruch{a*b}{a-1}[/mm] , für a > 1
> [mm]\sigma^{2}[/mm] = [mm]\bruch{a*b^{2}}{(a-1)^{2}*(a-2)}[/mm] , für a >
> 2
>
> Unter welchen Umständen bzw. Restriktionen ist es nun
> zulässig, eine Stichprobe aus einer solchen (in diesem
Was meinst du mit "zulaessig"?
> Fall Paretoverteilung) zu ziehen, Mittelwert [mm](\overline{x})[/mm]
> und Empirische Varianz [mm](s^{2})[/mm] zu berechnen, diese dann als
> Schätzer für den Erwartungswert und die Varianz zu
> verwenden und die eigentlichen Verteilungsparamter (a und
> b) durch auflösen der obigen Gleichungen für [mm]\mu[/mm] und
> [mm]\sigma^{2}[/mm] zu schätzen?
> Also explizit für dieses Beispiel:
>
> a = [mm]\bruch{\sigma+\wurzel{\mu^{2}+\sigma^{2}}}{\sigma},[/mm]
> bzw.
>
> b =
> [mm]\bruch{\mu*\wurzel{\mu^{2}+\sigma^{2}}}{-\sigma+\wurzel{\mu^{2}+\sigma^{2}}},[/mm]
>
> wobei [mm]\mu[/mm] und [mm]\sigma^{2}[/mm] durch ihre Schätzer [mm]\overline{x}[/mm]
> bzw. [mm]s^{2}[/mm] ersetzt werden.
Gratuliere, du hast die Momentenmethode erneut entdeckt.
vg Luis
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Hallo Luis,
zunächst danke für den Hinweis mit der Momentenmethode.
Wenn man dem Kind erst einmal einen Namen geben kann, ist es doch viel leichter, etwas über die Restriktionen dieser Methode nachzulesen. ;)
Es stellt sich mir jedoch eine weitere Frage:
Wenn es möglich ist, die Parameter einer (unter dem Vorbehalt etwaiger Restriktionen) beliebigen Verteilung durch Terme aus mu und sigma zu ersetzen, könnte man dann diese Verteilungen nicht auch von vornherein als Zufallsverteilungen in Abhängigkeit von mu und sigma darstellen, indem man die Verteilungsparameter in der Dichtefunktion, bzw. in der Wahrscheinlichkeitsverteilung durch die entsprechenden Terme aus mu und sigma ersetzt?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:07 Sa 17.07.2010 | | Autor: | luis52 |
> Es stellt sich mir jedoch eine weitere Frage:
> Wenn es möglich ist, die Parameter einer (unter dem
> Vorbehalt etwaiger Restriktionen) beliebigen Verteilung
> durch Terme aus mu und sigma zu ersetzen, könnte man dann
> diese Verteilungen nicht auch von vornherein als
> Zufallsverteilungen in Abhängigkeit von mu und sigma
> darstellen, indem man die Verteilungsparameter in der
> Dichtefunktion, bzw. in der Wahrscheinlichkeitsverteilung
> durch die entsprechenden Terme aus mu und sigma ersetzt?
Ich weiss nicht, worauf du hinaus willst. Gib mal ein Beispiel. Welche Vorteile erzielst du damit?
vg Luis
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Hier ein konkretes Beispiel:
Die Paretoverteilung, sowie ihr Erwartungswert $ [mm] (\mu) [/mm] $ und ihre Varianz $ [mm] (\sigma^{2}) [/mm] $ sind wie folgt charakterisiert:
f(x) = $ [mm] \bruch{a\cdot{}b^{a}}{x^{a+1}} [/mm] $ , b $ [mm] \le [/mm] $ x, a > 2
$ [mm] \mu [/mm] $ = $ [mm] \bruch{a\cdot{}b}{a-1} [/mm] $ , für a > 1
$ [mm] \sigma^{2} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{a\cdot{}b^{2}}{(a-1)^{2}\cdot{}(a-2)} [/mm] $ , für a > 2
Auflösen nach den Verteilungsparametern ergibt:
a = $ [mm] \bruch{\sigma+\wurzel{\mu^{2}+\sigma^{2}}}{\sigma}, [/mm] $ bzw.
b = $ [mm] \bruch{\mu\cdot{}\wurzel{\mu^{2}+\sigma^{2}}}{-\sigma+\wurzel{\mu^{2}+\sigma^{2}}}, [/mm] $
Diese Terme setze ich nun in die Dichtefunktion ein und erhalte:
f(x) = [mm] \bruch{\bruch{\sigma+\wurzel{\mu^{2}+\sigma^{2}}}{\sigma}\cdot{}(\bruch{\mu\cdot{}\wurzel{\mu^{2}+\sigma^{2}}}{-\sigma+\wurzel{\mu^{2}+\sigma^{2}}})^{\bruch{\sigma+\wurzel{\mu^{2}+\sigma^{2}}}{\sigma}}}{x^{(\bruch{\sigma+\wurzel{\mu^{2}+\sigma^{2}}}{\sigma})+1}}
[/mm]
mit entsprechend angepassten Definitionsbereichen für [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma^{2}.
[/mm]
Das sollte eigentlich für alle 2-Parameter-Verteilungen funktionieren.
Was ich mir davon verspreche?
Ich möchte zeigen, für welche Klassen von Funktionen [mm] S(\mu,\sigma) [/mm] und EU(x) gilt:
[mm] S(\mu_{1},\sigma_{1}) [/mm] > [mm] S(\mu_{2},\sigma_{2}) \gdw EU(x_{1}) [/mm] > [mm] EU(x_{2}),
[/mm]
wobei EU(x) der Erwartungswert einer auf x definierten Funktion U mit den Eigenschaften (U'(x)>0, U''(x)<0) ist.
Die Definition der Klasse S ist meiner Ansicht nach abhängig von der unterstellten Verteilung der Zufallsvariablen.
Bislang hängt meine Klasse S jedoch von den spezifischen Verteilungsparametern der ZV x ab. Wenn ich die Verteilung jedoch von vornherein in Abhängigkeit von [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma^{2} [/mm] darstellen kann, dann kann ich auch S in Abhängigkeit von [mm] \mu [/mm] und [mm] \sigma^{2} [/mm] darstellen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Di 20.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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