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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:04 So 07.11.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Widerlege (Gegenbeispiel): Seien M und N Mengen mit Atlanten und [mm] f:M\to [/mm] N sei glatt. Sei [mm] x\in [/mm] M. Dann gibt es Karten [mm] \varphi [/mm] um x und [mm] \psi [/mm] um f(x), sodass die Abbildung [mm] \psi\circ f\circ \varphi^{-1} [/mm] die Einschränkung einer linearen Abbildung ist und dies als lineare Abbildung mit der Ableitung von f in x übereinstimmt.
Hinweis: Ist der Rang der Ableitung maximal, so stimmt die Aussage. |
Hallo!
Also vorweg: Ich bin mir nicht sicher, ob ich die Aufgabe richtig verstehe...
Aber ich versuch mich mal an einem einfach Gegenbeispiel:
Sei [mm] f:\IR\to\IR; f(x)=x^{2}-x [/mm] und [mm] \IR [/mm] ausgestattet mit dem Atlas [mm] \{id_{\IR}\}
[/mm]
Dann gilt [mm] f'(\bruch{1}{2})=0 [/mm] (damit ist der Rang ja nicht maximal...) aber [mm] id_{\IR}\circ f\circ\ id_{\IR}^{-1}(\bruch{1}{2})=-\bruch{1}{4}
[/mm]
Aber wenn ich das mit x=1 mache klappt das auch nicht...
Oder liegt es etwa daran, dass irgendwelche Karten (also aus vollständigen Atlanten) gemeint sind?
In diesem Fall müsste ich ja noch beweisen, dass es keine Karten gibt, sodass das linear ist...
Doch wie stell ich das an? Wie sehen denn Karten aus, die mit der Identität verträglich sind?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Fr 12.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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