Gegenbeispiel: Jede Cauchyfolg < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Do 20.03.2014 | | Autor: | eviannn |
Hallo,
ich habe zwar eine Cauchyfolge in Q gefunden, die in Q nicht konvergiert aber trotzdem ist mir so einiges unklar.
Das Beispiel, das ich gefunden habe, sieht wie folgt aus:
an+1 = 1/2 ( an + (2/an) ) mit an =1
Ich verstehe auch wie man auf den Grenzwert wurzel 2 kommt.
Dafür wird die Formel
g = 1 / 2g + 1/g
angewendet.
Allerdings verstehe ich nicht, wie man bemerkt bzw rechnerisch nachvollziehen kann, dass diese rekursive Folge konvergiert.
Meine Rechnungen um festzustellen, ob sie Konvergent ist, sind die folgenden Schritte:
1) x n+m aufstellen
x n+m = 1/xn + 1/xn + 1/(xn+1) + 1/(xn+2) + .... + 1/(xn+m)
2) danach habe ich den Startwert eingesetzt
1 + 1 + 1/2 + 1/3 +1/4 + ....
somit komme ich für n>= 1 auf die Reihe
1/n
Soweit ich weiß,konvergiert sie nicht. Ich bin sehr sehr verwirrt.
Helft mir bitte :((
wie bemerkt ihr, dass diese Folge gegen Wurzel 2 konvergiert ?
Ich danke im Voraus
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
matheplanet.de
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> Hallo,
> ich habe zwar eine Cauchyfolge in Q gefunden, die in Q
> nicht konvergiert aber trotzdem ist mir so einiges unklar.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Zunächst schauen wir uns nochmal die Definition an:
Eine Folge [mm] (a_i)_{i\in \mathbb{N}} [/mm] rationaler oder reeller Zahlen heißt Cauchyfolge,
wenn es zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] einen Index N gibt, so daß ab diesem "Schwellenwert" N alle Folgenglieder weniger als [mm] \varepsilon [/mm] voneinander entfernt sind.
Formaler:
Für jedes beliebige [mm] \varepsilon>0 [/mm] gibt es ein passendes [mm] N\in\mathbb{N},
[/mm]
so daß für alle m,n [mm] \ge [/mm] N [mm] \colon [/mm] gilt: [mm] \left|a_m-a_n \right|<\varepsilon [/mm]
Man kann zeigen, daß jede konvergente Folge eine Cauchyfolge ist.
Sicher habt Ihr das in der Vorlesung getan.
Es ist nun so, daß die Umkehrung i.a. nicht gilt.
Es gibt also Cauchyfolgen, welche nicht konvergieren.
>
> Das Beispiel, das ich gefunden habe, sieht wie folgt aus:
>
> an+1 = 1/2 ( an + (2/an) ) mit an =1
Du meinst sicher diese Folge:
[mm] a_{n+1}:=\bruch{1}{2}(a_n+\bruch{2}{a_n}) [/mm] mit [mm] a_{\red{1}}=1.
[/mm]
Zum besseren Verständnis schreiben wir mal ein paar Folgenglieder auf:
[mm] a_1=1
[/mm]
[mm] a_2=\bruch{1}{2}(a_1+\bruch{2}{a_1}) =\bruch{1}{2}(1+\bruch{2}{1})=\bruch{3}{2}
[/mm]
[mm] a_3=\bruch{1}{2}(a_2+\bruch{2}{a_2}) =\bruch{1}{2}(\bruch{3}{2}+\bruch{2}{\bruch{3}{2}})=\bruch{17}{12}
[/mm]
[mm] a_4=\bruch{1}{2}(a_3+\bruch{2}{a_3}) =\bruch{1}{2}(\bruch{17}{12}+\bruch{2}{\bruch{17}{12}})=\bruch{577}{408}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
Du siehst, wenn Du Dir die Folgenglieder als Dezimalzahlen aufschreibst, daß sie sich [mm] \wurzel{2} [/mm] nähern.
(Beweiskraft hat das nicht).
Für die Frage, ob die Folge konvergiert, spielt es eine große Rolle, ob wir die Folge als Folge in [mm] \IQ [/mm] oder in [mm] \IR [/mm] betrachten.
In [mm] \IQ [/mm] konvergiert die Folge nicht, denn ihr Grenzwert liegt nicht in [mm] \IQ. [/mm]
In [mm] \IR [/mm] hingegen konvergiert die Folge mit dem Grenzwert [mm] g=\wurzel{2}.
[/mm]
Es gilt sogar:
In [mm] \IR [/mm] ist jede Cauchyfolge konvergent.
Ich gehe davon aus, daß dies in der Vorlesung gezeigt wurde.
>
>
> Ich verstehe auch wie man auf den Grenzwert wurzel 2 kommt.
> Dafür wird die Formel
> g = 1 / 2g + 1/g
> angewendet.
Ja. Man überlegt sich, daß es, sofern es einen GW g gibt, für diesen die obige Gleichung gilt.
Man bekommt [mm] g^2=2.
[/mm]
Hieran sieht man, daß die Folge nicht in [mm] \IQ [/mm] konvergiert, denn eine rationale Zahl g mit [mm] g^2=2 [/mm] gibt es nicht.
>
>
> Allerdings verstehe ich nicht, wie man bemerkt bzw
> rechnerisch nachvollziehen kann, dass diese rekursive Folge
> konvergiert.
Sie konvergiert nur in [mm] \IR, [/mm] nicht in [mm] \IQ!
[/mm]
Wenn die genannten Sätze bekannt sind, kann man es so tun:
Man kann zeigen, daß die Folge eine Cauchyfolge ist - das findest Du in der Literatur, und ich möchte es hier nicht vormachen.
Du stellt (s.o.) fest: wenn sie konvergiert gegen g, dann ist [mm] g^2=2.
[/mm]
Also konvergiert sie nicht in [mm] \IQ.
[/mm]
Man weiß: weil es eine Cauchyfolge ist, konvergiert sie in [mm] \IR. [/mm] Als Grenzwerte kommen [mm] g_1=\wurzel{2} [/mm] und [mm] g_2=-\wurzel{2} [/mm] infrage.
Der negative Wert ist es offensichtlich nicht, also konvergiert sie gegen [mm] \wurzel{2}.
[/mm]
Ich hoffe, daß Du folgen konntest.
Ich habe bewußt nicht viel gerechnet, und mancherlei dessen, was man noch sagen könnten zum Thema, nicht gesagt.
> Meine Rechnungen um festzustellen, ob sie Konvergent ist,
> sind die folgenden Schritte:
>
> 1) x n+m aufstellen
> x n+m = 1/xn + 1/xn + 1/(xn+1) + 1/(xn+2) + .... +
> 1/(xn+m)
>
> 2) danach habe ich den Startwert eingesetzt
> 1 + 1 + 1/2 + 1/3 +1/4 + ....
Ich weiß nicht, was Du hier getan hast.
Du bist verdächtig: ich glaube, Du hast die rekursive Definition ga nicht verstanden.
Es ist doch nach Definition
[mm] a_{n+m}:=\bruch{1}{2}(a_{n+m-1}+\bruch{2}{a_{n+m-1}}).
[/mm]
>
> somit komme ich für n>= 1 auf die Reihe
Auf eine Reihe?
LG Angela
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Hiho,
> Allerdings verstehe ich nicht, wie man bemerkt bzw rechnerisch nachvollziehen kann, dass diese rekursive Folge konvergiert.
Zeige: [mm] a_n [/mm] ist monoton und beschränkt. Dann gilt in [mm] \IR [/mm] was?
Gruß,
Gono.
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