Gegenseitige Lage von Ebenen < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind E1: [mm] \vec{x}=\vektor{1 \\ 2 \\a} [/mm] + r* [mm] \vektor{1 \\ -1 \\1} [/mm] + s* [mm] \vektor{b \\ c \\ 2} [/mm] und E2: [mm] \vec{x}=\vektor{2 \\ 1 \\1} [/mm] + t* [mm] \vektor{4 \\ 1 \\2} [/mm] + u* [mm] \vektor{d \\ 1 \\ -1}.
[/mm]
Wie müssen die reelen Zahlen a,b,c und d gewählt werden, damit sich die beiden Ebenen schneiden? |
Hallo,
erstmal ist ja klar, dass a beliebig sein darf.
Dann habe ich angefangen, indem ich die Spannvektoren r,s,t auf lineare unabhängigkeit überprüft habe. Meine Lösung ist: [mm] b\not= \bruch{2}{3} [/mm] c + [mm] \bruch{10}{3} [/mm] ; d dann beliebig.
1. Stimmt das?
2. Ist das ausreichend, oder muss man die Vektoren r,s,u auch noch untersuchen?
3. Gibt es einen alternativen bzw. leichteren weg?
Danke im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:25 Fr 13.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich würde über die Koordinatenform der Ebenen gehen.
Wenn du zwei Ebenen [mm] E_{1}=n_{1_{1}}x_{1}+n_{1_{2}}x{2}+n_{1_{3}}x_{3}=d_{1} [/mm] und
[mm] E_{2}=n_{2_{1}}x_{1}+n_{2_{2}}x{2}+n_{2_{3}}x_{3}=d_{2}
[/mm]
hast, kann man relativ schnell prüfen, ob sich die Ebenen schneiden.
Marius
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Also, wenn man das in Koordinatenform umformt, ist das sher aufwendig, da das dafür nötige LGS kompliziert ist.
Das haben wir auch schon versucht und wir haben abgebrochen, weil die Lösungen zu kompliziert waren.
Ist unsere Lösung denn richtgig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Fr 13.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Also, wenn man das in Koordinatenform umformt, ist das sher
> aufwendig, da das dafür nötige LGS kompliziert ist.
> Das haben wir auch schon versucht und wir haben
> abgebrochen, weil die Lösungen zu kompliziert waren.
>
> Ist unsere Lösung denn richtgig?
Hallo,
Ebenen schneiden sich, wenn sie NICHT parallel sind.
Wenn sie nicht parallel sind, haben sie unterschiedlich gerichtete (also linear unabhängige) Normalenvektoren.
Hat eine Ebene die Gleichung ax+by+cz=d, so ist ein Normalenvektor dieser Ebene sofort bekannt:
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ b \\c}.
[/mm]
Wenn dir das Umformen in Koordinatenform Probleme bereitet, dann erzeuge einen Normalenvektor, indem du das Kreuzprodukt der beiden Richtungvektoren dieser Ebene bildest (zur Erinnerung: das Kreuzprodukt zweier Vektoren steht auf beiden senkrecht).
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Fr 13.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn 2 der Spannvektoren von E1 lin unabh. von einem der Spannvektoren von E2 sind, warum sollen sie sich dann nicht schneiden?
nimm die x-y Ebene und die z-x Ebene, sie schneiden sich garantiert. einer der Spanvektoren der einen und die 2 anderen sind aber lin unabh..
also besser mit den Normalenvektoren arbeiten.
Gruss leduart
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