Gekoppeltes Eigenwertproblem < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:39 Fr 25.05.2012 | | Autor: | Denny22 |
Hallo, sei [mm] $S\in\IR^{d,d}$ [/mm] eine schiefsymmetrische Matrix (d.h. [mm] $S^T=-S$). [/mm]
Meine Frage ist, ob sich das folgende $2d$-dimensionale gekoppelte Eigenwertproblem
[mm] $\pmat{ 0 & S^T \\ S & 0 }\vektor{w_1 \\ w_2}=\mu\vektor{w_1 \\ w_2}$
[/mm]
entkoppeln lässt. Dieses System lässt sich schreiben als
(1) [mm] $S^T w_2=\mu w_1$
[/mm]
(2) $S [mm] w_1=\mu w_2$
[/mm]
Ich bin jetzt an den Lösungen interessiert und würde dieses $2d$-dimensionale System gerne als $d$-dimensionales System schreiben.
Ich starte mal einen Versuch: Sei [mm] $(\mu,w)$, $w=\vektor{w_1 \\ w_2}$ [/mm] eine Lösung von (1),(2). Multipliziere ich (1) mit $S$ und verwende (2), bzw. multipliziere ich (2) mit [mm] $S^T$ [/mm] und verwende (1), so erhalte ich
(1') [mm] $SS^T w_2 [/mm] = [mm] \mu [/mm] S [mm] w_1 [/mm] = [mm] \mu^2 w_2$
[/mm]
(2') $S^TS [mm] w_1 [/mm] = [mm] \mu S^T w_2 [/mm] = [mm] \mu^2 w_1$
[/mm]
Wir haben also gezeigt, dass wenn [mm] $(\mu,w)$ [/mm] (1),(2) löst, so auch (1'),(2'). Gilt die Umkehrung eigentlich auch? Ich bekomme die nämlich nicht hin?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:59 Sa 26.05.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
sagen wir, wir haben eine Lösung [mm] w_2 [/mm] von (1')
jetzt multiplizieren wir
> (1') $ [mm] SS^T w_2 [/mm] = [mm] \mu [/mm] S [mm] w_1 [/mm] = [mm] \mu^2 w_2 [/mm] $
mit [mm] $S^t$:
[/mm]
[mm] $S^tS(S^tw_2)=\mu^2(S^tw_2)$
[/mm]
also ist [mm] $w_1=S^tw_2$ [/mm] eine Lösung von (2').
Nur widerspricht das i.a. (1).
D.h. Lösungen der modifizierten Gleichungen sind i.a. keine Lösungen des urspr. Problems.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 So 27.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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