Gemeinsame Dichte, Summe < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:54 Di 28.05.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es seien X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen. X sein uniform verteilt auf [0,1] und Y exponential verteilt mit vorgegebenen Paramater [mm] \lambda [/mm] >0. DIe Zufallsvariablen X,Y bezeichnen die Koordianten von X und XY.
Berechne die Wahrscheinlichkeit P(X +Y [mm] \le [/mm] 1) |
Hei
Im Lösungsbuch steht P(X + Y [mm] \le [/mm] 1)= [mm] \int_0^1 \int_0^{1-y} \lambda e^{-\lambda} [/mm] dx dy =...= 1+ [mm] \frac{e^{-\lambda} -1}{\lambda}
[/mm]
Warum stimmt dieser Ansatz? Die Grenzen sind mir beim zeichnen eines Dreiecks klar geworden.
Aber hier wird mit der Dichte von (X,Y) gearbeitet [mm] f_{(X,Y)} [/mm] (x,y)= [mm] f_X [/mm] (x) [mm] *f_Y [/mm] (y)= [mm] \lambda e^{-\lambda y} 1_{[0,\infty)} [/mm] (y) [mm] 1_{[0,1]} [/mm] (x).
Müsste man nicht mit der Dichte von X+Y rechnen?
P(X+Y [mm] \le [/mm] 1) = [mm] \int_{-\infty}^1 f_{X+Y} [/mm] (x)
[mm] f_{X+Y} [/mm] (x)= [mm] \int_{-\infty}^{\infty} f_{(X+Y,X)} [/mm] (x,y) dy = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} f_{(X,Y)} [/mm] (x-y,y) dy = [mm] \int_{-\infty}^{\infty} f_X [/mm] (x-y) * [mm] f_Y [/mm] (y) dy = [mm] \int_0^{\infty} 1_{[0,1]} [/mm] (x-y) * [mm] \lambda e^{-\lambda y} [/mm] dy
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Hiho,
> Aber hier wird mit der Dichte von (X,Y) gearbeitet
> Müsste man nicht mit der Dichte von X+Y rechnen?
man kann beides machen. Der Vorteil der Dichte von (X,Y) ist aber, dass man diese unter der Annahme, dass X und Y unabhängig sind, doch sofort hinschreiben kann!
Das Ergebnis ist natürlich bei beiden das selbe.
Allgemein gilt nämlich: Sei [mm] $g:\IR^2 \to \IR$ [/mm] eine meßbare Funktion, dann gilt einerseits.
[mm] $P\left(g(X,Y) \le c\right) [/mm] = [mm] \integral_0^c f_{g(X,Y)}(t)\,dt$
[/mm]
Andererseits aber eben auch:
[mm] $P\left(g(X,Y) \le c\right) [/mm] = [mm] \integral_{\IR^2} 1_{\{g(X,Y) \le c\}} f_{(X,Y)}(x,y)\,dx\,dy$
[/mm]
Die letzte Gleichung ist dir vielleicht klarer, wenn du dir bewusst macht, wie man Erwartungswerte der Form [mm] $E\left[g(X)\right]$ [/mm] berechnen kann, wenn die Dichte von X bekannt ist.
MFG,
Gono.
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