Gemeinsame Dichte bestimmen < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:26 Fr 28.01.2011 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | | Seien [mm] $X\sim Gamma(r,\lambda)$, $Y\sim [/mm] Gamma(s, [mm] \lambda)$. [/mm] Berechne die gemeinsame Dichte von [mm] $(\frac{X}{X+Y},X+Y)$ [/mm] und zeige, dass [mm] $\frac{X}{X+Y}$ [/mm] und $X+Y$ unabhängig sind. |
Hi!
Ich weiß leider nicht, wie ich die gemeinsame Verteilung bestimmen soll.
Das einzige, das ich weiß, ist, dass [mm] $X+Y\sim Gamma(r+s,\lambda)$ [/mm] gilt.
Dann gilt z.B. (sei $f(x,y)$ die gemeinsame Dichte) [mm] $\integral_{\IR}^{}{f(x,y) dx}=\frac{\lambda^{r+s}}{\Gamma(r+s)}*x^{r+s-1}*e^{-\lambda x}$. [/mm] Aber das bringt mir irgendwie auch nichts.
Dann gibt es natürlich noch den Weg über die Verteilungsfunktion.
F(x,y)=0 für $x [mm] \le [/mm] 0$. Sei daher x>0. Dann ist
[mm] F(x,y)=P(\frac{X}{X+Y}\le [/mm] x, [mm] X+Y\le y)=P(\frac{X}{x}\le [/mm] X+Y [mm] \le [/mm] y). Aber wie kann man vernünftig weitermachen? Ist der Ansatz überhaupt richtig?
Bitte um Hilfe.
Edit: Hat sich erledigt!
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