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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 So 03.02.2008 | | Autor: | philo |
| Aufgabe | Alle Schaubilder von $ [mm] f_{t}$ [/mm] verlaufen durch einen gemeinsamen Punkt.
$ [mm] f_{t}(x) [/mm] = [mm] tx^{4} [/mm] - [mm] \bruch{x}{2t}$ [/mm] |
Ich habe nun für t einmal [mm] $t_{1}$ [/mm] und einmal [mm] $t_{2}$ [/mm] gewählt und die beiden Gleichungen gleichgesetzt:
[mm] $f_{t1} [/mm] (x) = [mm] f_{t2} [/mm] (x)$
[mm] $t_{1}x^{4} [/mm] - [mm] \bruch{x}{2t_{1}} [/mm] = [mm] t_{2}x^{4} [/mm] - [mm] \bruch{x}{2t_{2}}$
[/mm]
[mm] $t_{1}x^{4} [/mm] - [mm] \bruch{x}{2t_{1}} [/mm] - [mm] t_{2}x^{4} [/mm] + [mm] \bruch{x}{2t_{2}} [/mm] = 0$
$x * ( [mm] t_{1}x^{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2t_{1}} [/mm] - [mm] t_{2}x^{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2t_{2}}) [/mm] = 0$
Hieraus folgt das erste Ergebnis: x = 0
Nun habe ich versucht weiterzurechnen:
[mm] $t_{1}x^{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2t_{1}} [/mm] - [mm] t_{2}x^{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2t_{2}} [/mm] = 0$
[mm] $x^{3} [/mm] * [mm] (t_{1} [/mm] - [mm] t_{2}) [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * ( [mm] \bruch{1}{2t_{1}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2t_{2}}) [/mm] = 0$
Hier komme ich leider nicht weiter, da ich t1 und t2 nicht eliminiert kriege.
Vielleicht weiß ja jemand weiter :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 So 03.02.2008 | | Autor: | abakus |
> Alle Schaubilder von [mm]f_{t}[/mm] verlaufen durch einen
> gemeinsamen Punkt.
>
> [mm]f_{t}(x) = tx^{4} - \bruch{x}{2t}[/mm]
> Ich habe nun für t
> einmal [mm]t_{1}[/mm] und einmal [mm]t_{2}[/mm] gewählt und die beiden
> Gleichungen gleichgesetzt:
>
> [mm]f_{t1} (x) = f_{t2} (x)[/mm]
>
> [mm]t_{1}x^{4} - \bruch{x}{2t_{1}} = t_{2}x^{4} - \bruch{x}{2t_{2}}[/mm]
>
> [mm]t_{1}x^{4} - \bruch{x}{2t_{1}} - t_{2}x^{4} + \bruch{x}{2t_{2}} = 0[/mm]
>
> [mm]x * ( t_{1}x^{3} - \bruch{1}{2t_{1}} - t_{2}x^{3} + \bruch{1}{2t_{2}}) = 0[/mm]
>
> Hieraus folgt das erste Ergebnis: x = 0
>
>
> Nun habe ich versucht weiterzurechnen:
>
> [mm]t_{1}x^{3} - \bruch{1}{2t_{1}} - t_{2}x^{3} + \bruch{1}{2t_{2}} = 0[/mm]
>
> [mm]x^{3} * (t_{1} - t_{2}) - \bruch{1}{2} * ( \bruch{1}{2t_{1}} - \bruch{1}{2t_{2}}) = 0[/mm]
Brüche durch geeignetes Erweitern gleichnamig machen:
[mm]x^{3} * (t_{1} - t_{2}) - \bruch{1}{2} * ( \bruch{t_{2}}{2t_{1}t_{2}} - \bruch{t_{1}}{2t_{2}t_{1}}) = 0[/mm]
gleichnamige Brüche zusammenfassen und -1 ausklammern:
[mm]x^{3} * (t_{1} - t_{2}) + \bruch{1}{2} * ( \bruch{t_{1}-t_{2}}{2t_{1}t_{2}} ) = 0[/mm]
[mm] t_{1}-t_{2} [/mm] ausklammern:
[mm](t_{1} - t_{2})*(x^{3} + ( \bruch{1}{4t_{1}t_{2}} ) = 0[/mm]
Für verschiedene t kann [mm] (t_{1} [/mm] - [mm] t_{2}) [/mm] nicht Null werden. Der zweite Term kann zwar Null werden, aber nicht an einer festen (von den gewählten t unabhängigen) Stelle, sondern je nach den gewählten Parametern [mm] t_{1} [/mm] ; [mm] t_{2} [/mm] an verschiedenen Stellen.
x=0 war also die einzige Lösung. (Im übrigen hattest du die Aufgabe vorhin schon erfüllt, denn du hast EINEN Punkt gefunden (wenn du zu x=0 noch die zugehörige y-Koordinate nennst).
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> Hier komme ich leider nicht weiter, da ich t1 und t2 nicht
> eliminiert kriege.
> Vielleicht weiß ja jemand weiter :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:00 So 03.02.2008 | | Autor: | philo |
Danke für die schnelle Antwort, da habe ich wohl gemacht als ich musste :)
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