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| Aufgabe 1 | Von der gemeinsamen Verteilung zweier statistischer Variablen [mm] X,Y:\Omega \to \IR[/mm] seien folgende relative Häufigkeiten bekannt:
[mm]
\begin{tabular}{|lr|c|c|c|c|}
\hline
& Y & -1 & 0 & 2 & h_{i*} \\
X & & & & & \\
\hline
-2 & & & & 1/6 & \\
\hline
1 & & 1/6 & & & \\
\hline
h_{*j} & & & 1/3 & & \\
\hline
\end{tabular}
[/mm]
Weiter sei bekannt, dass [mm] \overline{x}=1/8 [/mm] und [mm] \overline{y}= 7/12 [/mm] sind.
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| Aufgabe 2 | | a) Vervollständigen Sie die Tabelle. |
| Aufgabe 3 | | b)Berechnen Sie die bedingte relative Häufigkeit von [mm] X=1 [/mm], gegeben dass [mm] Y>-1 [/mm]. |
Bei der a) habe ich leider keine Ahnung, wie das geht. Ich weiß nur, dass die Summe einer Spalte genau dem [mm] h_{*j} [/mm] entsprechen muss und genau das Gleiche angewendet auf die Zeilensumme und [mm] h_{i*} [/mm].
Zudem müssen sicherlich noch die arithmetischen Mittel ins Spiel gebracht werden, aber ich habe keine Idee wie das gehen soll.
Bei der b) habe ich die Idee, dass man die bedingte Häufigkeit aufteilen kann in zwei Ereignisse, nämlich einmal in [mm] P(X=1|Y=0) [/mm] und in [mm]P(X=1|Y=2) [/mm].
Diese beiden Werte kann man ja ausrechnen (nachdem die Tabelle in a) fertig ist) und müsste diese doch dann theoretisch addieren, oder?
Ich freue mich sehr über Hilfe.
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> Von der gemeinsamen Verteilung zweier statistischer
> Variablen [mm]X,Y:\Omega \to \IR[/mm] seien folgende relative
> Häufigkeiten bekannt:
>
> [mm]
\begin{tabular}{|lr|c|c|c|c|}
\hline
& Y & -1 & 0 & 2 & h_{i*} \\
X & & & & & \\
\hline
-2 & & & & 1/6 & \\
\hline
1 & & 1/6 & & & \\
\hline
h_{*j} & & & 1/3 & & \\
\hline
\end{tabular}
[/mm]
>
> Weiter sei bekannt, dass [mm]\overline{x}=1/8 [/mm] und
> [mm]\overline{y}= 7/12 [/mm] sind.
>
> a) Vervollständigen Sie die Tabelle.
> b)Berechnen Sie die bedingte relative Häufigkeit von [mm]X=1 [/mm],
> gegeben dass [mm]Y>-1 [/mm].
> Bei der a) habe ich leider keine
> Ahnung, wie das geht. Ich weiß nur, dass die Summe einer
> Spalte genau dem [mm]h_{*j}[/mm] entsprechen muss und genau das
> Gleiche angewendet auf die Zeilensumme und [mm]h_{i*} [/mm].
> Zudem
> müssen sicherlich noch die arithmetischen Mittel ins Spiel
> gebracht werden, aber ich habe keine Idee wie das gehen
> soll.
>
> Bei der b) habe ich die Idee, dass man die bedingte
> Häufigkeit aufteilen kann in zwei Ereignisse, nämlich
> einmal in [mm]P(X=1|Y=0)[/mm] und in [mm]P(X=1|Y=2) [/mm].
> Diese beiden
> Werte kann man ja ausrechnen (nachdem die Tabelle in a)
> fertig ist) und müsste diese doch dann theoretisch
> addieren, oder?
>
> Ich freue mich sehr über Hilfe.
>
Hallo james_brown,
deine Überlegung zu b) ist natürlich richtig. Also geht es
nur noch um das Ergänzen der Tabelle. Dort fehlen vier
Einträge, die wir mit a, b, c, d bezeichnen können:
a:=[mm]P(X=-2|Y=-1) [/mm] etc.
Ferner sind noch 4 der [mm] h_{i,j} [/mm] zu bestimmen, so dass wir
insgesamt 8 Unbekannte haben. Dementsprechend müssen
wir also nach 8 (linearen) Gleichungen Ausschau halten
und dann das entstandene Gleichungssystem auflösen.
Die erste Gleichung wäre dann:
$\ [mm] a+b+\frac{1}{6}\ [/mm] =\ [mm] h_{1,4}$ [/mm]
(Summe der ersten Zeile)
Möglicherweise habe ich aber die Notation bei den [mm] h_{i,j}
[/mm]
nicht im Sinne des Erfinders interpretiert ...
LG Al-Chw.
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Bitte nächste Frage anschauen, bin leider auf Mitteilung gegangen und weiß nicht, wie man das editieren kann.
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> Von der gemeinsamen Verteilung zweier statistischer
> > Variablen [mm]X,Y:\Omega \to \IR[/mm] seien folgende relative
> > Häufigkeiten bekannt:
> >
> > [mm]
\begin{tabular}{|lr|c|c|c|c|}
\hline
& Y & -1 & 0 & 2 & h_{i*} \\
X & & & & & \\
\hline
-2 & & & & 1/6 & \\
\hline
1 & & 1/6 & & & \\
\hline
h_{*j} & & & 1/3 & & \\
\hline
\end{tabular}
[/mm]
>
> >
> > Weiter sei bekannt, dass [mm]\overline{x}=1/8[/mm] und
> > [mm]\overline{y}= 7/12[/mm] sind.
> >
> > a) Vervollständigen Sie die Tabelle.
> Hallo james_brown,
>
> deine Überlegung zu b) ist natürlich richtig. Also geht
> es
> nur noch um das Ergänzen der Tabelle. Dort fehlen vier
> Einträge, die wir mit a, b, c, d bezeichnen können:
> a:=[mm]P(X=-2|Y=-1)[/mm] etc.
> Ferner sind noch 4 der [mm]h_{i,j}[/mm] zu bestimmen, so dass wir
> insgesamt 8 Unbekannte haben. Dementsprechend müssen
> wir also nach 8 (linearen) Gleichungen Ausschau halten
> und dann das entstandene Gleichungssystem auflösen.
>
> Die erste Gleichung wäre dann:
>
> [mm]\ a+b+\frac{1}{6}\ =\ h_{1,4}[/mm]
>
> (Summe der ersten Zeile)
> Möglicherweise habe ich aber die Notation bei den
> [mm]h_{i,j}[/mm]
> nicht im Sinne des Erfinders interpretiert ...
>
>
> LG Al-Chw.
>
Danke schonmal für deine Hilfe. Aber ich glaube nicht, dass das ganze in dieser Weise in einer angemessenen Zeit lösbar ist, denn dies ist ein Teil einer Aufgabe von drei Aufgaben aus einer einstündigen Klausur.
Außerdem käme ich so ja "nur" auf 7 Gleichungen bei 8 Unbekannten, es müssen also irgendwie noch die arithmetischen Mittel benutzt werden.
Ich denke, dass das irgendwie auch noch anders (bzw. schneller) zu lösen sein muss.
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Hallo!
Das erste, was dir auffallen sollte, ist Folgendes:
Die [mm] h_j [/mm] in deiner Tabelle entsprechen gerade den P(Y = ...),
die [mm] h_i [/mm] in der Tabelle entsprechen geraden den P(X = ...).
Ein Beispiel (das einzige, was jetzt mgl. ist): $P(Y = 0) = 1/3$.
Ist dir das klar?
Das zweite: X nimmt nur zwei Werte an. Es gilt also $P(X = -2) = 1-P(X = 1)$.
Außerdem: Y nimmt drei Werte an, d.h. es gilt: $P(Y = -1) + P(Y= 0) + P(Y = 2) = 1$. Wegen P(Y = 0) = 1/3 können wir aber wieder schreiben: P(Y = -1) = 1 - P(Y = 0) - P(Y = 2) = 2/3 - P(Y = 2).
Nun zum wichtigsten: Wie verwenden wir die Mittelwerte?
Eigentlich würden wir den Mittelwert folgendermaßen berechnen:
Mittelwert von X = (Summe der Messwerte [mm] X_i [/mm] ) / (Anzahl der Messwerte [mm] X_i [/mm] )
In unserem Fall können aber die Messwerte [mm] X_i [/mm] nur zwei verschiedene Werte angenommen haben (nämlich -2 und 1). Das bedeutet wir können die Formel vereinfachen, denn es gilt dann:
Summe der Messwerte [mm] X_i [/mm] = (-2)*(Anzahl der Messwerte [mm] X_i [/mm] = -2) + 1*(Anzahl der Messwerte [mm] X_i [/mm] = 1).
Damit erhalten wir insgesamt:
$Mittelwert von X = [mm] (-2)*\frac{Anzahl\ der\ Messwerte\ X_i = -2}{Anzahl\ aller\ Messwerte\ X_i} [/mm] + [mm] 1*\frac{Anzahl\ der\ Messwerte\ X_i = 1}{Anzahl\ aller\ Messwerte\ X_i}$
[/mm]
Es gilt aber gerade:
[mm] $\frac{Anzahl\ der\ Messwerte\ X_i = -2}{Anzahl\ aller\ Messwerte\ X_i}$ [/mm] = [relative Haeufigkeit von [mm] X_i [/mm] = -2] = P(X = -2).
Zugegebenermaßen alles etwas heuristisch, aber damit solltest du zum Ziel kommen. Wie dir vielleicht auffällt, ist hier der Mittelwert nichts anderes als der Erwartungswert...
Grüße,
Stefan
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> Danke schonmal für deine Hilfe. Aber ich glaube nicht,
> dass das ganze in dieser Weise in einer angemessenen Zeit
> lösbar ist, denn dies ist ein Teil einer Aufgabe von drei
> Aufgaben aus einer einstündigen Klausur.
> Außerdem käme ich so ja "nur" auf 7 Gleichungen bei 8
> Unbekannten, es müssen also irgendwie noch die
> arithmetischen Mittel benutzt werden.
> Ich denke, dass das irgendwie auch noch anders (bzw.
> schneller) zu lösen sein muss.
Ich habe das ganze mit 8 Gleichungen für 8 Unbekannte
gelöst. Zwar habe ich für die Auflösung des Systems ein
online-Hilfsmittel benützt. Jedoch sind die Gleichungen
sehr einfach, sodass eine sofortige Reduktion der Anzahl
der Unbekannten sehr leicht ist. Natürlich braucht man
zur Aufstellung der Gleichungen auch die angegebenen
Mittelwerte.
LG Al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:41 Mo 09.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Von der gemeinsamen Verteilung zweier statistischer
> Variablen [mm]X,Y:\Omega \to \IR[/mm] seien folgende relative
> Häufigkeiten bekannt:
>
> [mm]
\begin{tabular}{|lr|c|c|c|c|}
\hline
& Y & -1 & 0 & 2 & h_{i*} \\
X & & & & & \\
\hline
-2 & & & & 1/6 & \\
\hline
1 & & 1/6 & & & \\
\hline
h_{*j} & & & 1/3 & & \\
\hline
\end{tabular}
[/mm]
>
> Weiter sei bekannt, dass [mm]\overline{x}=1/8 [/mm] und
> [mm]\overline{y}= 7/12 [/mm] sind.
>
> a) Vervollständigen Sie die Tabelle.
> b)Berechnen Sie die bedingte relative Häufigkeit von [mm]X=1 [/mm],
> gegeben dass [mm]Y>-1 [/mm].
> Bei der a) habe ich leider keine
> Ahnung, wie das geht. Ich weiß nur, dass die Summe einer
> Spalte genau dem [mm]h_{*j}[/mm] entsprechen muss und genau das
> Gleiche angewendet auf die Zeilensumme und [mm]h_{i*} [/mm].
> Zudem
> müssen sicherlich noch die arithmetischen Mittel ins Spiel
> gebracht werden, aber ich habe keine Idee wie das gehen
> soll.
>
> Bei der b) habe ich die Idee, dass man die bedingte
> Häufigkeit aufteilen kann in zwei Ereignisse, nämlich
> einmal in [mm]P(X=1|Y=0)[/mm] und in [mm]P(X=1|Y=2) [/mm].
> Diese beiden
> Werte kann man ja ausrechnen (nachdem die Tabelle in a)
> fertig ist) und müsste diese doch dann theoretisch
> addieren, oder?
>
> Ich freue mich sehr über Hilfe.
Bezeichne [mm] h_{X,Y}(u;v) [/mm] die entsprechenden gemeinsamen Häufigkeiten in der Tabelle sowie [mm] h_X(u)=\summe_v h_{X,Y}(u;v) [/mm] und [mm] h_Y(v)=\summe_u h_{X,Y}(u;v) [/mm] die Randhäufigkeiten.
Es gilt allgemein [mm] \summe_u h_X(u)=\summe_v h_Y(v)=1 [/mm] sowie über die Mittelwerte [mm] -2h_X(-2)+h_X(1)=1/8 [/mm] und [mm] -h_Y(-1)+h_Y(2)=7/12
[/mm]
Daraus gewinnst Du (2Gl. mit 2Unbek.) ziemlich fix die Werte für [mm] h_Y [/mm] und [mm] h_X.
[/mm]
Daraus gewinnst Du dann ziemlich fix (jeweils 1Gl. mit 1 Unbek.) [mm] h_{X,Y}(1;2) [/mm] und [mm] h_{X,Y}(-2;-1). [/mm] Daraus gewinnst Du dann ziemlich fix (jeweils 1Gl. mit 1 Unbek.) [mm] h_{X,Y}(1;0) [/mm] und [mm] h_{X,Y}(-2;0)
[/mm]
b)
[mm] h(X=1|Y>-1)=h(X=1;Y>-1)/h(Y>-1)=\frac{h_{X,Y}(1;0)+h_{X,Y}(1;1)}{h_Y(0)+h_Y(1)}
[/mm]
LG
gfm
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| Aufgabe | | b)Berechnen Sie die bedingte relative Häufigkeit von [mm]X=1 [/mm], gegeben dass [mm]Y>-1 [/mm]. |
Erstmal vielen Dank an Euch für die Hilfe. Ich habe das ganze jetzt mal ausgerechnet und komme auf folgende Tabelle:
[mm]
\begin{tabular}{|lr|c|c|c|c|}
\hline
& Y & -1 & 0 & 2 & h_{i*} \\
X & & & & & \\
\hline
-2 & & 1/12 & 1/24 & 1/6 & 7/24 \\
\hline
1 & & 1/6 & 7/24 & 1/4 & 17/24 \\
\hline
h_{*j} & & 1/4 & 1/3 & 5/12 & \\
\hline
\end{tabular}
[/mm]
Jetzt zur b)
Ist folgende Rechnung richtig?
[mm] P(X=1|Y>-1)=\frac{P(X=1 \wedge Y>-1)}{P(Y>-1)}=\frac{P(X=1 \wedge Y=0) + P(X=1 \wedge Y=2)}{P(Y=0)+P(Y=2)}=\frac{\frac{7}{24} + \frac{1}{4}}{\frac{1}{3}+\frac{5}{12}}=\frac{\frac{13}{24}}{\frac{3}{4}}=\frac{13}{18} [/mm]
Dabei sollte das 2. Gleichheitszeichen gelten, weil die Ereignisse [mm] \lbrace X=1 \wedge Y=0 \rbrace [/mm] und [mm] \lbrace X=1 \wedge Y=2 \rbrace [/mm] disjunkt sind. Analog disjunkte Ereignisse im Nenner.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Mo 09.08.2010 | | Autor: | gfm |
> b)Berechnen Sie die bedingte relative Häufigkeit von [mm]X=1 [/mm],
> gegeben dass [mm]Y>-1 [/mm].
> Erstmal vielen Dank an Euch für die
> Hilfe. Ich habe das ganze jetzt mal ausgerechnet und komme
> auf folgende Tabelle:
>
> [mm]
\begin{tabular}{|lr|c|c|c|c|}
\hline
& Y & -1 & 0 & 2 & h_{i*} \\
X & & & & & \\
\hline
-2 & & 1/12 & 1/24 & 1/6 & 7/24 \\
\hline
1 & & 1/6 & 7/24 & 1/4 & 17/24 \\
\hline
h_{*j} & & 1/4 & 1/3 & 5/12 & \\
\hline
\end{tabular}
[/mm]
>
>
> Jetzt zur b)
> Ist folgende Rechnung richtig?
>
> [mm]P(X=1|Y>-1)=\frac{P(X=1 \wedge Y>-1)}{P(Y>-1)}=\frac{P(X=1 \wedge Y=0) + P(X=1 \wedge Y=2)}{P(Y=0)+P(Y=2)}=\frac{\frac{7}{24} + \frac{1}{4}}{\frac{1}{3}+\frac{5}{12}}=\frac{\frac{13}{24}}{\frac{3}{4}}=\frac{13}{18}[/mm]
>
> Dabei sollte das 2. Gleichheitszeichen gelten, weil die
> Ereignisse [mm]\lbrace X=1 \wedge Y=0 \rbrace[/mm] und [mm]\lbrace X=1 \wedge Y=2 \rbrace[/mm]
> disjunkt sind. Analog disjunkte Ereignisse im Nenner.
Sieht gut aus.
LG
gfm
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