Genau einen Fixpunkt < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:51 Mi 25.07.2007 | | Autor: | Wehm |
| Aufgabe | $f(x,y):=[ [mm] ln(2+||x,y||_\infty), arctan(1+||x,y||_\infty) [/mm] ]$
[mm] f:R^2 [/mm] -> [mm] R^2
[/mm]
Zu zeigen, dass f(x,y) genau einen Fixpunkt hat. |
Hallo
Ich ewiß, dass das mit dem Banachschen Fixpunktsatz geht. Und Mittelwertsatz is auch anzuwenden
Z.B. hier die Rechnung [mm] $|f_2(x,y) [/mm] - [mm] f_2(a,b) [/mm] | [mm] \le [/mm] L * ||(x,y) - [mm] (a,b)_\infty [/mm] = | [mm] arctan(1+||x,y||_\infty [/mm] - [mm] arctan(1+||x,y||_\infty) [/mm] | = |arctan'(z)| | [mm] ||(x,y)||_\infty [/mm] - [mm] ||(a,b)||_\infty [/mm] | = [mm] |\frac{1}{z}|* [/mm] | [mm] ||(x,y)||_\infty [/mm] - [mm] ||(a,b)||_\infty| \le \frac{1}{1+z^2} [/mm] ||(x,y)-(a,b) [mm] ||_\infty$. [/mm]
Jetzt soll aber gelten [mm] \frac{1}{1+z^2} \le [/mm] 0,5
Warum 0,5? Ist es immer f'(z) [mm] \le \frac{1}{n} [/mm] wenn die Abbildung auf [mm] R^n?
[/mm]
Ich weiß man muss das selbe nochmal für den ln(..) machen, aber auch da setzt man das kleiner 1/2. Da dachte ich aber, das hat etwas mit der 2+ zu tun. Woher kommen die 0,5 wirklich?
Grüße
wehm
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:55 Do 26.07.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo wehm,
> [mm]f(x,y):=[ \ln(2+||x,y||_\infty), \arctan(1+||x,y||_\infty) ][/mm]
>
> [mm]f:R^2[/mm] -> [mm]R^2[/mm]
>
> Zu zeigen, dass f(x,y) genau einen Fixpunkt hat.
>
> Ich ewiß, dass das mit dem Banachschen Fixpunktsatz geht.
> Und Mittelwertsatz is auch anzuwenden
Der Banachsche Fixpunktsatz hat als Voraussetzung, dass f eine kontrahierende Abbildung ist, dass es also eine Zahl [mm]\lambda<1[/mm] gibt, sodass also für beliebige Punkte [mm]u,v\in \IR^2[/mm] gilt: [mm]\|f(u)-f(v)\| \leq \lambda
\|u-v\|[/mm]. Diese Voraussetzung musst du nachweisen. Dazu benutzt du hier den Mittelwertsatz.
> Z.B. hier die Rechnung [mm]|f_2(x,y) - f_2(a,b) | \le L * ||(x,y) - (a,b)_\infty = | arctan(1+||x,y||_\infty - arctan(1+||x,y||_\infty) | = |arctan'(z)| | ||(x,y)||_\infty - ||(a,b)||_\infty | = |\frac{1}{z}|* | ||(x,y)||_\infty - ||(a,b)||_\infty| \le \frac{1}{1+z^2} ||(x,y)-(a,b) ||_\infty[/mm].
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da hast du mindestens zwei Gleichungs-/Ungleichungsketten wild durcheinander gemischt.
Definiere zur Abkürzung
[mm]f_1(x,y) = \ln(2+\|x,y\|_\infty)[/mm],
[mm] f_2(x,y) = \arctan(1+\|x,y\|_\infty)[/mm]
und behandle die beiden Teile getrennt.
Zunächste berechne ich
[mm]|f_1(x,y)-f_1(a,b)| = \bigl|\ln(2+\|x,y\|_\infty) - \ln(2+\|a,b\|_\infty\bigr|[/mm].
Nach dem Mittelwertsatz gibt es einen Punkt [mm]z_1[/mm] zwischen [mm]2+\|x,y\|_\infty[/mm] und [mm]2+\|a,b\|_\infty[/mm], sodass
[mm] \ln(2+\|x,y\|_\infty) - \ln(2+\|a,b\|_\infty) = \ln'(z_1) ((2+\|x,y\|_\infty) - (2+|a,b\|_\infty)) = \bruch{1}{z_1} (\bigl|\|x,y\|_\infty-|a,b\|_\infty)[/mm].
Da [mm]z_1[/mm] zwischen [mm]2+\|x,y\|_\infty[/mm] und [mm]2+\|a,b\|_\infty[/mm] liegt, ist [mm]|z_1| \geq2[/mm] und
[mm]|f_1(x,y)-f_1(a,b)| = \left|\bruch{1}{z_1}\right| \bigl|\|x,y\|_\infty-\|a,b\|_\infty\bigr| \leq \bruch{1}{2} \bigl|\|x,y\|_\infty-\|a,b\|_\infty\bigr|[/mm].
Das Gleiche mache ich mit [mm]f_2[/mm]. Dort gibt es ein [mm]z_2[/mm] zwischen [mm]1+\|x,y\|_\infty[/mm] und [mm]1+\|a,b\|_\infty[/mm] ([mm]\Rightarrow z_2\geq1[/mm]), sodass
[mm] |f_2(x,y)-f_2(a,b)| = |\arctan'(z_2)| \cdot\bigl|(1+\|x,y\|_\infty) - (1+\|a,b\|_\infty)\bigr| = \left|\bruch{1}{1+z_2^2}\right| \bigl|\|x,y\|_\infty-\|a,b\|_\infty\bigr|\leq \bruch{1}{2}\bigl|\|x,y\|_\infty-\|a,b\|_\infty\bigr|[/mm].
Dann brauchst du noch die Dreiecksungleichung
[mm]\bigl|\|x,y\|_\infty-\|a,b\|_\infty\bigr| \leq \|(x,y)-(a,b)\|_\infty [/mm]
und
[mm]\|(x,y)-(a,b)\|_\infty \leq \|(x,y)-(a,b)\|_2 [/mm],
sodass
[mm]\| f(x,y) -f(a,b) \|_2 = \sqrt{|f_1(x,y)-f_1(a,b)|^2 + |f_2(x,y)-f_2(a,b)|^2} \leq \sqrt{\bruch{1}{4} \|(x,y)-(a,b)\|_2^2 + \bruch{1}{4} \|(x,y)-(a,b)\|_2^2} = \bruch{1}{2} \|(x,y)-(a,b)\|_2[/mm]. QED
Grüße
Rainer
|
|
|
|
