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| Aufgabe | Sei $c: I [mm] \to \IR^{2}$ [/mm] mit $||c'|| = 1$ und [mm] $c^{1}(t)=0$. [/mm] $f: [mm] Ix\IR \to \IR^{3}, [/mm] f(x,y) = [mm] (c^{1} [/mm] (x) cos y, [mm] c^{1}(x) [/mm] sin y, [mm] c^{2} [/mm] (x))$ sei die zugehörige Rotationsfläche. [mm] ($c^{i}$ [/mm] bezeichnet die i-te Komponente von c)
Betrachte Kurven in x- und y-Richtung [mm] $x_{0} \in [/mm] I, [mm] y_{0} \in \IR$ [/mm] fest.
[mm] $\gamma_{1} [/mm] : [mm] \IR \to \IR^{3}, \gamma_{1}(t) [/mm] = [mm] (c^{1}(x_{0}) [/mm] cos t, [mm] c^{1}(x_{0}) [/mm] sin t, [mm] c^{2}(x_{0}))$
[/mm]
[mm] $\gamma_{2} [/mm] : I [mm] \to \IR^{3}, \gamma_{1}(t) [/mm] = [mm] (c^{1}(t) [/mm] cos [mm] y_{0}, c^{1}(t) [/mm] sin [mm] y_{0}, c^{2}(t))$.
[/mm]
Für beide Kurve gilt [mm] $||\gamma [/mm] '||$ = konstant. Sind [mm] $\gamma_{1},\gamma_{2}$ [/mm] Geodäten? |
Es gibt nun 3 verschiedene Möglichkeiten dies zu zeigen. Davon möchte ich folgende wählen:
Es gilt: $ [mm] \gamma [/mm] '' = [mm] D_{\gamma '} \gamma [/mm] ' = 0 [mm] \gdw \nabla_{\gamma '} \gamma [/mm] ' + II (c',c') n$.
Also ist zu zeigen:
[mm] $\nabla_{\gamma '} \gamma [/mm] ' = 0 [mm] \gdw \gamma [/mm] '' (t) = II(c',c')n$.
Hier bezeichnet II die 2. Fundamentalform.
Und da ist auch schon mein Problem: Wie berechne ich $II(c',c')$?
Ich kenne nur die Matrixschreibweise von II. Mit den Einträgen L,M,N bzw. [mm] $h_{ij}$
[/mm]
In meiner Definition steht:
[mm] $II_{x}: \IR^{2} [/mm] x [mm] \IR^{2} \to \IR, II_{x}(V,W) [/mm] = - [mm] I((df)_{x}^{-1} (dn)_{x} [/mm] (V), W)$. Was ist [mm] $(df)_{x}^{-1}$ [/mm] , wenn f: wie oben gewählt? Weil die Ableitungsmatrix von f (df) ist doch nicht quadratisch oder?
Außerdem benötigen wir hier die 1. Fundamentalform I, die foglendermaßen definiert ist:
[mm] $I_{(x^{1},x^{2})} [/mm] : [mm] \IR^{2} [/mm] x [mm] \IR^{2} \to \IR, I_{(x^{1},x^{2})} [/mm] (u.v) = [mm] <(df)_{(x^{1},x^{2})}(u), (df)_{(x^{1},x^{2})}(v)>$
[/mm]
Wäre toll wenn jmd das gut erklären könnte.
Vielen Dank schonmal
Ich hatte die Frage ausversehen im Schulforum gestellt...deshalb jetzt nochmal richtig.
Achso vielleicht sollte ich noch folgendes sagen:
[mm] $\nabla_{x} [/mm] Y = [mm] D_{x}Y [/mm] - [mm] [/mm] n$ (n = Gaußsches Normalenfeld und [mm] $D_{x}Y$ [/mm] die Kovariante Ableitung von Y in Richtung X. Ich habe keine Ahnung was die Kovariante Ableitung ist)
Also ist [mm] $\nabla_{x} [/mm] Y$ die orthogonale Projektion der Kovarianten Ableitung auf den Tangentialraum.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 So 30.01.2011 | | Autor: | Berieux |
Hi!
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> Es gibt nun 3 verschiedene Möglichkeiten dies zu zeigen.
> Davon möchte ich folgende wählen:
> Es gilt: [mm]\gamma '' = D_{\gamma '} \gamma ' = 0 \gdw \nabla_{\gamma '} \gamma ' + II (c',c') n[/mm].
>
??
> Also ist zu zeigen:
> [mm]\nabla_{\gamma '} \gamma ' = 0 \gdw \gamma '' (t) = II(c',c')n[/mm].
>
> Hier bezeichnet II die 2. Fundamentalform.
Ja du kannst hier über die zweite Fundamentalform gehen. Das ist aber unnötig. Du musst einfach bloß zeigen, dass die auf den Tangentialraum projezierte Ableitung der Kurve verschwindet. Hierzu musst du das Normalenfeld bestimmen, das ist eigentlich schon alles.
>
> Und da ist auch schon mein Problem: Wie berechne ich
> [mm]II(c',c')[/mm]?
> Ich kenne nur die Matrixschreibweise von II. Mit den
> Einträgen L,M,N bzw. [mm]h_{ij}[/mm]
> In meiner Definition steht:
> [mm]II_{x}: \IR^{2} x \IR^{2} \to \IR, II_{x}(V,W) = - I((df)_{x}^{-1} (dn)_{x} (V), W)[/mm].
> Was ist [mm](df)_{x}^{-1}[/mm] , wenn f: wie oben gewählt? Weil die
> Ableitungsmatrix von f (df) ist doch nicht quadratisch
> oder?
Die Darstellung von df als Abbildung [mm] \IR^2 \to \IR^3 [/mm] ist nicht quadratisch. Fasst du df aber als Abbildung [mm] \IR^2 \to T_{f(x_1,x_2)}(Bildf) [/mm] auf ist die Darstellungsmatrix quadratisch. (siehe hierzu meine Antwort zu deinem anderen Post)
>
> Außerdem benötigen wir hier die 1. Fundamentalform I, die
> foglendermaßen definiert ist:
> [mm]I_{(x^{1},x^{2})} : \IR^{2} x \IR^{2} \to \IR, I_{(x^{1},x^{2})} (u.v) = <(df)_{(x^{1},x^{2})}(u), (df)_{(x^{1},x^{2})}(v)>[/mm]
>
> Wäre toll wenn jmd das gut erklären könnte.
> Vielen Dank schonmal
>
> Ich hatte die Frage ausversehen im Schulforum
> gestellt...deshalb jetzt nochmal richtig.
>
> Achso vielleicht sollte ich noch folgendes sagen:
> [mm]\nabla_{x} Y = D_{x}Y - n[/mm] (n = Gaußsches
> Normalenfeld und [mm]D_{x}Y[/mm] die Kovariante Ableitung von Y in
> Richtung X.
Nein das ist die gewöhnliche Richtungsableitung.
> Ich habe keine Ahnung was die Kovariante
> Ableitung ist)
> Also ist [mm]\nabla_{x} Y[/mm] die orthogonale Projektion der
> Kovarianten Ableitung auf den Tangentialraum.
Die kovariante Ableitung [mm]\nabla_{x} Y [/mm] von Y in Richtun X ist die Projektion der gewöhnlichen Richtungsableitung auf den Tangentialraum.
Schau bitte nochmal in dein Skript, und mach dir die Begriffe klar.
Grüße,
Berieux
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 Mo 31.01.2011 | | Autor: | musesician |
Ich werde morgen nochmal über dieses Kapitel grübeln und mich melden.
Jetzt erst nochmal mein Skript durchgehen und das wichtigste rausschreiben.
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