Geodäten auf dem Torus < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Do 16.04.2009 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | | Sei [mm] T^{2}=\IR^{2}/\IZ^{2} [/mm] der zwei-dimensionale Torus. Bestimmen Sie die Geodäten auf [mm] T^{2}. [/mm] Sind diese global eindeutig? Welche sind geschlossen? |
Hallo,
leider habe ich noch nicht so viele Ideen zu der Aufgabe. Könnt ihr mir vielleicht einen Tipp geben?
Sind die Geodäten nicht einfach die geschlossenen Kreise!? Welche gibt es denn noch?
Gruß und Danke kiri
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:17 Fr 17.04.2009 | | Autor: | kiri111 |
Keiner eine Idee???
Sonnige Grüße
kiri
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:54 Sa 18.04.2009 | | Autor: | kiri111 |
Hi,
ich denke damit komme ich zu recht.
Dankeschön und Grüße
kiri
|
|
|
| |
|
Hallo kiri,
ich befürchte, dass du in den von RainerS angegebenen
Quellen doch nicht so genau das findest, was du wirklich
brauchst, denn der Torus [mm] T^2 [/mm] deiner Aufgabe ist keines-
wegs dasselbe wie der zweidimensionale Rotationstorus
im [mm] \IR^3 [/mm] ! Diese beiden Flächen sind zwar topologisch
äquivalent, metrisch aber nicht.
Den Torus deiner Aufgabe kannst du dir vorstellen wie
ein Quadrat - oder wie eine unendliche Ansammlung
von schachbrettartig aneinander gefügten Quadraten,
die aber alle eigentlich zueinander identisch sind.
Ein beliebiges dieser Quadrate steht repräsentativ für
alle zusammen.
Wie erhältst du nun in dieser zwar endlichen, aber doch
unbegrenzten "Flachwelt" eine Geodäte ? Nimm dir
ein Blatt Papier und zeichne z.B. 9 Sudoku-artig anein-
anderliegende (grosse !) Quadrate. Wähle einen Start-
Punkt A irgendwo im mittleren Quadrat, dazu eine
Startrichtung oder einen Startwinkel [mm] \alpha\in [/mm] [0,360°).
Dann ziehst du von dort aus einen geradlinigen Strahl.
Falls er z.B. das mittlere Feld über den rechten Rand
verlässt, tritt er dort in das Feld "Mitte rechts" ein.
Da alle Felder zueinander äquivalent sind, tritt er
aber gleichzeitig wieder in das ursprüngliche Feld
in der Mitte ein, und zwar über dessen linken Rand
und immer noch mit dem gleichen Richtungswinkel
[mm] \alpha. [/mm] Er geht weiter und überschreitet dann z.B.
den oberen Rand, und schwupps kommt er wieder
von unten rein, etc.
Der in der gesamten "Schachbrettwelt" zusammen-
hängende geradlinige Strahl (bzw. die gesamte
Gerade) ist eine Geodäte. In einem einzelnen
Quadrat betrachtet erscheint sie allerdings als eine
Menge aus einer, zwei, drei, ..... oder sogar unendlich
vielen parallelen Strecken, wobei der Endpunkt eines
Abschnitts mit dem Anfangspunkt des nächsten iden-
tifiziert wird.
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
|
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://www.matheboard.de/archive/138291/thread.html