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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:06 So 11.07.2010 | | Autor: | krvat |
| Aufgabe 1 | | Jede lineare Abbildung bildet Gerade auf Geraden und Ebenen auf Ebenen ab. |
| Aufgabe 2 | | Ein Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn die beiden Diagonalen gleichlang sind. |
| Aufgabe 3 | Ein Vektor w halbiert den Winkel zwischen den Vektoren u,v, wenn
[mm] w=\parallel [/mm] u [mm] \parallel [/mm] v + [mm] \parallel [/mm] v [mm] \parallel [/mm] u. |
Zur Aufgabe 1:
Ich habe irgendwie keinen Ansatz für die Aufgabe, obwohl sie doch sehr einfach klingt und logisch ist.
Lin. Abb.: $f(a+b)=f(a)+f(b)$ und [mm] $f(\lambda [/mm] * [mm] a)=\lambda [/mm] *f(a)$.
Muss ich f auf eine Gerade anwenden und dann auf Ortsvektor und Richtungsvektor aufteilen oder auf 2 Geraden anwenden?
Aufgabe 2:
Das ist ja eine genau dann wenn Aussagen, sprich Hin- und Rückrichtung beweisen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
a=x und b=y
[mm] "\Rightarrow":
[/mm]
[mm] x=\vektor{a \\ 0}, y=\vektor{b \\ c}, e=x+y=\vektor{a \\ 0}+\vektor{b \\ c}=\vektor{a+b \\ c}, f=y-x=\vektor{b \\ c}+\vektor{a \\ 0}=\vektor{b-a \\ c}
[/mm]
[mm] \parallel [/mm] e [mm] \parallel [/mm] = [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel \gdw \wurzel{(a+b)+c^2}=\wurzel{(b-a)^2+c^2} \gdw \wurzel{a^2+2ab+b^2+c^2}=\wurzel{b^2-2ab+a^2+c^2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a^2+2ab+b^2+c^2=b^2-2ab+a^2+c^2 \gdw [/mm] 4ab=0 und da a nicht 0 sein kann, sonst wäre es unsinn, folgt, dass b=0.
D.h. [mm] y=\vektor{0 \\ c}. [/mm] Also [mm] x*y=\vektor{a \\ 0}*\vektor{0 \\ c}=0. \Rightarrow [/mm] Senkrecht, somit ein Rechteck, da die gegenüberliegenden Seiten von x und y symmetrisch.
Rückrichtung ist ja klar. Wenn man ein Rechteck hat, hat man auch ein Parallelogramm trivialerweise.
Bitte korrigieren falls etwas falsch ist, danke. :)
Aufgabe 3:
Da habe ich nicht so wirklich eine Idee wie ich an die Aufgaben rangehen könnte.
[mm] w(u,v)=arccos(\bruch{u*v}{\parallel u \parallel * \parallel v \parallel})
[/mm]
und w(u,w)+w(w,v)=w(u,v).
Bin um jeden Hinweis dankbar. :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:18 Di 13.07.2010 | | Autor: | krvat |
Hey,
ich bin immer noch am Tipp und der Korrektur interessiert.
Vielleicht findet sich jemand, der 5 Minuten Zeit hat, danke. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Di 13.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo krvat,
> Jede lineare Abbildung bildet Gerade auf Geraden und Ebenen
> auf Ebenen ab.
> Ein Parallelogramm ist genau dann ein Rechteck, wenn die
> beiden Diagonalen gleichlang sind.
> Ein Vektor w halbiert den Winkel zwischen den Vektoren
> u,v, wenn
> [mm]w=\parallel[/mm] u [mm]\parallel[/mm] v + [mm]\parallel[/mm] v [mm]\parallel[/mm] u.
> Zur Aufgabe 1:
> Ich habe irgendwie keinen Ansatz für die Aufgabe, obwohl
> sie doch sehr einfach klingt und logisch ist.
> Lin. Abb.: [mm]f(a+b)=f(a)+f(b)[/mm] und [mm]f(\lambda * a)=\lambda *f(a)[/mm].
>
> Muss ich f auf eine Gerade anwenden und dann auf Ortsvektor
> und Richtungsvektor aufteilen oder auf 2 Geraden anwenden?
Ja. f auf eine Gerade (bzw. Ebene) anwenden. Da f linear ist, auf Ortsvektor und Richtungsvektor(en) aufteilen. Das Bild des (der) Richtungsvektor(en) kann auch 0 (der Ursprung sein). Sollte f nicht auch surjektiv sein?
>
> Aufgabe 2:
> Das ist ja eine genau dann wenn Aussagen, sprich Hin- und
> Rückrichtung beweisen.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> a=x und b=y
Die Bezeichnungen a und b sind irreführend, da a und b als Vektoren und Komponenten von Vektoren auftauchen. Aber angenommen in der Zeichnung stände x und y, statt a und b. und nimmt man die x und y so wie von dir definiert, dann ist das folgende ok
> [mm]"\Rightarrow":[/mm]
> [mm]x=\vektor{a \\ 0}, y=\vektor{b \\ c}, e=x+y=\vektor{a \\ 0}+\vektor{b \\ c}=\vektor{a+b \\ c}, f=y-x=\vektor{b \\ c}+\vektor{a \\ 0}=\vektor{b-a \\ c}[/mm]
>
> [mm]\parallel[/mm] e [mm]\parallel[/mm] = [mm]\parallel[/mm] f [mm]\parallel \gdw \wurzel{(a+b)+c^2}=\wurzel{(b-a)^2+c^2} \gdw \wurzel{a^2+2ab+b^2+c^2}=\wurzel{b^2-2ab+a^2+c^2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a^2+2ab+b^2+c^2=b^2-2ab+a^2+c^2 \gdw[/mm] 4ab=0 und
> da a nicht 0 sein kann, sonst wäre es unsinn, folgt, dass
> b=0.
> D.h. [mm]y=\vektor{0 \\ c}.[/mm] Also [mm]x*y=\vektor{a \\ 0}*\vektor{0 \\ c}=0. \Rightarrow[/mm]
> Senkrecht, somit ein Rechteck, da die gegenüberliegenden
> Seiten von x und y symmetrisch.
> Rückrichtung ist ja klar. Wenn man ein Rechteck hat, hat
> man auch ein Parallelogramm trivialerweise.
> Bitte korrigieren falls etwas falsch ist, danke. :)
>
> Aufgabe 3:
> Da habe ich nicht so wirklich eine Idee wie ich an die
> Aufgaben rangehen könnte.
> [mm]w(u,v)=arccos(\bruch{u*v}{\parallel u \parallel * \parallel v \parallel})[/mm]
>
> und w(u,w)+w(w,v)=w(u,v).
>
> Bin um jeden Hinweis dankbar. :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Leider habe im Moment keine Zeit mehr für 3.
Gruß meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 Di 13.07.2010 | | Autor: | weduwe |
[mm] \vec{w}^\prime=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}+\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}
[/mm]
[mm] \vec{w}=|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\vec{w}^\prime [/mm]
also ein bißerl länger oder kürzer 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 15.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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