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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:02 Di 22.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
$8 [mm] \cos\bruch{4 \pi}{9}*\cos\bruch{2 \pi}{9}*\cos\bruch{\pi}{9} [/mm] =1 $
Wir haben lediglich die Additionstheoreme [mm] $\sin(x+y), \cos(x+y), \tan(x+y)$ [/mm] und wissen [mm] $\cos [/mm] x = [mm] \sin (\pi/2 [/mm] -x)$. |
Hey,
mir fehlt leider die richtige Idee.
Ich dachte schon es geht mit:
[mm] $8*\cos(90-10)*\cos(30+10)*cos(30-10) [/mm] = 1$
Aber da komme ich auf:
[mm] $8*\sin(10)*(\bruch{3}{4}-\sin^2(10)) [/mm] = 1$
Das stimmt zwar, aber weiter umformen kann ich das nicht.
Wäre für ein schnellen Tipp sehr dankbar.
Liebe Grüße,
Ana-Lena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Di 22.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie:
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> [mm]8 \cos\bruch{4 \pi}{9}*\cos\bruch{2 \pi}{9}*\cos\bruch{\pi}{9} =1[/mm]
>
> Wir haben lediglich die Additionstheoreme [mm]\sin(x+y), \cos(x+y), \tan(x+y)[/mm]
> und wissen [mm]\cos x = \sin (\pi/2 -x)[/mm].
> Hey,
>
> mir fehlt leider die richtige Idee.
ich würde hier konkret rechnen:
Es ist bekanntlich
[mm] $$\cos(\pi/3)=1/2\,.$$
[/mm]
Nun gilt
[mm] $$\cos(\pi/3)=\cos(\pi/9+2\pi/9)=\cos(\pi/9)\cos(2\pi/9)-\sin(\pi/9)\sin(2\pi/9)\,.$$
[/mm]
Mithilfe der Additionstheoreme folgt schnell
[mm] $$\cos(2x)=2\cos^2(x)-1\;\;\;(=2*(\cos(x))^2-1\;)$$
[/mm]
und
[mm] $$\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)\,.$$
[/mm]
Außerdem gilt hier [mm] $\sin(\pi/9)=\sqrt{1-\cos^2(\pi/9)}\,,$ [/mm] wobei das Vorzeichen durch Veranschaulischung am Einheitskreis sofort klar ist. (Es hätte ja - rein algebraisch betrachtet - auch [mm] $\sin(...)=\red{\;-\;}\sqrt{...}$ [/mm] sein können.)
P.S.
Eleganter ginge es hier evtl. mit de Moivre oder, falls ihr das benutzen dürft:
[mm] $$e^{i\phi}=\cos(\phi)+i\sin(\phi)$$
[/mm]
für reelle [mm] $\phi\,.$
[/mm]
Aber oben solltest Du, indem Du zuerst [mm] $\cos(\pi/9)$ [/mm] mithilfe der Tipps berechnest, dann durch zweimalige Anwendung von [mm] $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$ [/mm] auch zum Ziel kommen!
P.S.
Für obigen Lösungsweg könntest Du übrigens die Cardanischen Formeln benutzen. Eventuell kann man das aber auch anders:
Am Ende kommt man mit [mm] $z:=\cos(\pi/9)$ [/mm] drauf, dass [mm] $z\,$ [/mm] die Gleichung
[mm] $$8z^3-6z-1=0$$
[/mm]
löst.
Die zu zeigende Gleichung
$$8 [mm] \cos\bruch{4 \pi}{9}*\cos\bruch{2 \pi}{9}*\cos\bruch{\pi}{9} [/mm] =1$$
kann man dann in der Form
$$f(z)=0$$
schreiben, wobei [mm] $f\,$ [/mm] ein Polynom in [mm] $z\,$ [/mm] ist, wenn man [mm] $\cos(2x)=2\cos^2(x)-1$ [/mm] 2mal benutzt:
[mm] $$\cos(2\pi/9)=2\cos^2(\pi/9)-1=2z^2-1$$
[/mm]
etwa...
Eventuell reicht solch' ein Wissen ja auch schon zur Lösung der Aufgabe.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:33 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Danke Marcel,
das hört sich gut an. Ich probier das gleich mal aus. :)
Liebe Grüße
Ana-Lena
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:36 Di 22.05.2012 | | Autor: | weduwe |
kennst du
[mm] cos\alpha\cdot cos\beta=\frac{1}{2}\cdot(cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha+\beta))
[/mm]
damit kommt man schnell ans ziel
korrektur: siehe marcels kommentar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:41 Di 22.05.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> kennst du
> [mm]cos\alpha\cdot sin\beta=\frac{1}{2}\cdot(cos(\alpha-\beta)+cos(\alpha+\beta))[/mm]
das kann sie mit ihrem Wissen jedenfalls schnell beweisen (von rechts nach links rechnen).
Allerdings:
Sollte linkerhand nicht [mm] $\cos(a)\red{\cos}(\beta)$ [/mm] stehen? Dann könnte sie auch schonmal [mm] $\alpha=\pi/3$ [/mm] und [mm] $\beta=\pi/9$ [/mm] nutzen (für meinen Lösungsweg zu vervollständigen - mir ist schon klar, dass Deiner ein anderer ist ^^ ).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:53 Di 22.05.2012 | | Autor: | weduwe |
ja natürlich, war ein tippfehler.
ich darf es oben korrigieren 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
Okay, hab's schnell bewiesen. Zusammen mit [mm] $\cos(2*\alpha) [/mm] = [mm] 2\cos^2(\alpha)-1$ [/mm] klappts!
Danke :),
Ana-Lena
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