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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:29 Mi 23.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
| Aufgabe | | Gegeben ist [mm] $\sin(\alpha) [/mm] + [mm] cos(\alpha) [/mm] = d$, wobei d eine Konstante ist. Berechne den Wert von [mm] $\sin^6(\alpha)+\cos^6(\alpha)$ [/mm] in Abhängigkeit von $d$. |
Hey,
meine Idee
[mm] $\sin^6(\alpha)+\cos^6(\alpha) [/mm] = [mm] (\sin^2(\alpha))^3+\cos^6(\alpha)$
[/mm]
[mm] $=(1-\cos^2(\alpha))^3+\cos^6(\alpha) [/mm] = ... = [mm] 1-3*\cos^2(\alpha)+3*cos^4(\alpha)$
[/mm]
$= [mm] 1-3*\cos^2(\alpha)(1-cos^2(\alpha)) [/mm] = [mm] 1-3*\cos^2(\alpha)(\sin^2(\alpha)) [/mm] = [mm] 1-3*(\cos(\alpha)\sin(\alpha)))^2$
[/mm]
Aber ich finde auch wenn ich [mm] $\cos(\alpha)=c-\sin(\alpha)$ [/mm] einsetze, dass es kein "schöner Wert" ist.
$= [mm] 1-3*((c\sin(\alpha))-c\sin^2(\alpha)))^2$
[/mm]
Hat jemand eine Idee? Liege ich sehr falsch?
Liebe Grüße,
Ana-Lena
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Hallo Ana-Lena,
ich sehe gerade nicht, wie Dein Weg weiterführt. Ich würde anders vorgehen.
> Gegeben ist [mm]\sin(\alpha) + cos(\alpha) = d[/mm], wobei d eine
> Konstante ist. Berechne den Wert von
> [mm]\sin^6(\alpha)+\cos^6(\alpha)[/mm] in Abhängigkeit von [mm]d[/mm].
>
> Hey,
>
> meine Idee
> [mm]\sin^6(\alpha)+\cos^6(\alpha) = (\sin^2(\alpha))^3+\cos^6(\alpha)[/mm]
>
> [mm]=(1-\cos^2(\alpha))^3+\cos^6(\alpha) = ... = 1-3*\cos^2(\alpha)+3*cos^4(\alpha)[/mm]
>
> [mm]= 1-3*\cos^2(\alpha)(1-cos^2(\alpha)) = 1-3*\cos^2(\alpha)(\sin^2(\alpha)) = 1-3*(\cos(\alpha)\sin(\alpha)))^2[/mm]
>
> Aber ich finde auch wenn ich [mm]\cos(\alpha)=c-\sin(\alpha)[/mm]
> einsetze, dass es kein "schöner Wert" ist.
>
> [mm]= 1-3*((c\sin(\alpha))-c\sin^2(\alpha)))^2[/mm]
>
> Hat jemand eine Idee? Liege ich sehr falsch?
Falsch nicht, aber ist das zielführend?
Ich würde so anfangen:
[mm] 1=(\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha})^3=\sin^6{\alpha}+3\sin^4{\alpha}\cos^2{\alpha}+3\sin^2{\alpha}\cos^4{\alpha}+\cos^6{\alpha}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \sin^6{\alpha}+\cos^6{\alpha}=1-3\sin^2{\alpha}\cos^2{\alpha}(\sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha})=1-3(\sin{\alpha}\cos{\alpha})^2
[/mm]
Aus [mm] d^2=(\sin{\alpha}+\cos{\alpha})^2=\sin^2{\alpha}+2\sin{\alpha}\cos{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1+2\sin{\alpha}\cos{\alpha}
[/mm]
kannst Du nun die gesuchte Beziehung zu d herstellen.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Mi 23.05.2012 | | Autor: | weduwe |
ich vermute, ich habe es mir deutlich einfacher gemacht, na schauen wir einmal 
mein ergebnis wäre
[mm] sin^6\alpha+cos^6\alpha=\frac{1+6d^2-3d^4}{4}
[/mm]
und das könnte sogar stimmen
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Mi 23.05.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo weduwe,
> ich vermute, ich habe es mir deutlich einfacher gemacht, na
> schauen wir einmal
>
> mein ergebnis wäre
>
> [mm]sin^6\alpha+cos^6\alpha=\frac{1+6d^2-3d^4}{4}[/mm]
>
> und das könnte sogar stimmen
Ja, das stimmt. Ich habe nur einen Rechenschritt vor dem Ergebnis aufgehört, siehe oben.
Wie lautet denn Dein noch einfacherer Weg?
Lies vorher vielleicht mal meine Antwort auf die Frage...
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:13 Mi 23.05.2012 | | Autor: | weduwe |
ich setze
[mm](1)\quad{ }x+y=d[/mm] mit [mm](2)\quad{ }y^2=1-x^2[/mm]
(2) in [mm]\quad{ }x^6+y^6=D[/mm] eingesetzt führt auf
[mm](3)\quad{ }3x^4-3x^2+1=D[/mm]
jetzt x aus (1) ausrechnen ergibt
[mm] D=\frac{1+6d^2-3d^4}{4}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Mi 23.05.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo weduwe,
das ist doch der gleiche Weg in anderer Verkleidung. Er sieht knapper aus, weil Du x und y als Schreiberleichterung einführst und die Zwischenschritte beim letzten Einsetzen auslässt.
Naja, egal. Es führen ja viele Wege nach Rom. Hauptsache, man kommt an.
Grüße 
reverend
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