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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:40 Mi 30.05.2012 | | Autor: | Ana-Lena |
| Aufgabe 1 | Zeigen Sie:
[mm] $\bruch{3-4*\cos(2\alpha) +\cos(4\alpha)}{3+4*\cos(2\alpha) +\cos(4\alpha)} [/mm] = [mm] tan^4(\alpha)$ [/mm] |
| Aufgabe 2 | Zeige, für spitze Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] gilt
[mm] \[\left( 1+ \bruch{1}{\sin \alpha} \right) \left( 1+ \bruch{1}{\cos \alpha} \right) >5\] [/mm] |
Hey,
bei den Aufgaben komme ich nicht so recht weiter. Hat jemand eine Idee.
Liebe Grüße und vielen Dank,
Ana-Lena
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Hallo Ana-Lena,
manchmal (eher selten) findet man bei solchen Aufgaben eine geometrische Figur, anhand derer die entsprechende Beziehung leichter zu zeigen oder gar abzulesen ist. Das ist hier wohl nicht der Fall, ich habe in dieser Hinsicht jedenfalls keine Idee.
Da bleibt wohl nur, mit den üblichen Additionstheoremen und dem "trigonometrischen Pythagoras" zuzuschlagen, meistens eine unsägliche Rechnerei.
> Zeigen Sie:
>
> [mm]\bruch{3-4*\cos(2\alpha) +\cos(4\alpha)}{3+4*\cos(2\alpha) +\cos(4\alpha)} = tan^4(\alpha)[/mm]
Hier ist ein bisschen unangenehm, dass als Argumente [mm] \alpha, 2\alpha [/mm] und [mm] 4\alpha [/mm] auftauchen. Da wirst Du um Additionstheoreme sicher nicht herumkommen, hier in der Sonderform der Doppelwinkelsätze, die man sich ja meist nicht merkt, weil man sie aus den allgemeineren Theoremen leicht herleiten kann. Schau mal in eine Formelsammlung.
Du brauchst hier nur [mm] \cos{(2\alpha)}=cos^2\alpha-sin^2\alpha=2\cos^2{\alpha}-1=1-2\sin^2{\alpha}
[/mm]
> Zeige, für spitze Winkel [mm]\alpha[/mm] gilt
>
> [mm]\[\left( 1+ \bruch{1}{\sin \alpha} \right) \left( 1+ \bruch{1}{\cos \alpha} \right) >5\][/mm]
Spitze Winkel sind ja solche mit [mm] 0<\alpha<\bruch{\pi}{2}. [/mm] Da wissen wir, dass sowohl [mm] 0<\sin{\alpha}<1 [/mm] als auch [mm] 0<\cos{\alpha}<1 [/mm] gilt.
Ansonsten braucht man nur noch den trigon.Pythagoras. Der kleinste Wert, den der linke Term in diesem Definitionsbereich annimmt, ist [mm] 3+2\wurzel{2}\approx 5,828\cdots
[/mm]
Grüße
reverend
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