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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 21:32 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo alle zusammen,
ich bin dabei die Geometrieaufgaben der verschiedenen Mathe-Olympiaden durchzugehen. Vielleicht hat einer Lust mitzumachen.
Hier die Aufgabe aus der 3. Runde Klasse 9 (1995/96)
Über ein Viereck ABCD werde vorausgesetzt:
(1) Es gibt einen Kreis, auf dem alle vier Punkte A, B, C, D liegen.
(2) Die Diagonalen AC und BD sind senkrecht zueinander.
Beweise, dass aus diesen Voraussetzungen stets die nachstehende Aussage folgt!
Das Lot vom Mittelpunkt M der Seite [mm] \bar {AB} [/mm] auf die Seite [mm] \bar {CD} [/mm] geht durch den Schnittpunkt S der Diagonalen [mm] \bar {AC} [/mm] und [mm] \bar {BD} [/mm].
Ich wünsche viel Spaß dabei.
Viele Grüße
Sigrid
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Do 25.11.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Hallo Sigrid
> ich bin dabei die Geometrieaufgaben der verschiedenen
> Mathe-Olympiaden durchzugehen. Vielleicht hat einer Lust
> mitzumachen.
> Hier die Aufgabe aus der 3. Runde Klasse 9 (1995/96)
Ich find die Idee alte Geometrieaufgaben durchzugehen einfach super und hab auch wirklich Lust da mit zu machen. Allerdings bin ich in diesem Gebiet noch echt schlecht, und hab von deiner Aufgabe auch noch nicht wirklich einen Plan, das spornt mich aber nur noch mehr an...! Leider hab ich im Moment aber wenig Zeit und bin bin die nächsten Tage nicht da, würde mich aber trotzdem über jede weitere Geometrieaufgabe freuen.
Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Do 25.11.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Samuel,
> Hallo Sigrid
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> > ich bin dabei die Geometrieaufgaben der verschiedenen
> > Mathe-Olympiaden durchzugehen. Vielleicht hat einer Lust
>
> > mitzumachen.
> > Hier die Aufgabe aus der 3. Runde Klasse 9 (1995/96)
>
>
> Ich find die Idee alte Geometrieaufgaben durchzugehen
> einfach super und hab auch wirklich Lust da mit zu machen.
Prima, dass du mitmachen willst.
> Allerdings bin ich in diesem Gebiet noch echt schlecht, und
> hab von deiner Aufgabe auch noch nicht wirklich einen Plan,
> das spornt mich aber nur noch mehr an...!
Vielleicht beruhigt es dich, dass es mir bei etlichen Aufgaben auch so geht. Die Geometrie ist halt Stiefkind in der Schule, und mir fehlt eben auch die Übung.
> Leider hab ich im
> Moment aber wenig Zeit und bin bin die nächsten Tage nicht
> da, würde mich aber trotzdem über jede weitere
> Geometrieaufgabe freuen.
Lass dir Zeit. Und wenn du sie mit oder ohne Hilfe gelöst hast, kommt sicher die nächste.
Gruß Sigrid
>
> Gruß Samuel
>
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Hallo Sigrid
Ich hab jetzt endlich mal die Zeit gefunden mich mit der Aufgabe zu befassen, und bin auch der Meinung nun (endlich) eine Lösung gefunden zu haben:
E sei der Schnittpunkt der Diagonalen
F sei der Schnittpunkt der Ortogonalen zu [CD] durch E mit [CD]
G sei der Schnittpunkt der Gerade durch E und F mit der durch A und B
mit [AB] meine ich die Strecke von A nach B und mit ~ die Ähnlichkeitsbeziehung (bin mir nicht ganz sicher ob das richtig ist??!)
Nun der eigentliche Beweis:
Ich führe den Beweis derart, indem ich zeige, dass eine Ortogonale zu [CD] durch E immer auch durch G geht, was zur Aufgabenstellung äquivalent ist
[mm] $\Delta\,ABE\sim\Delta\,ECD$ [/mm] ,da
i)Sehnensatz: [mm] [AE]*[EC]=[BE]*[ED]\gdw \frac{[AE]}{[ED]}=\frac{[BE]}{[EC]}
[/mm]
ii)Scheitelwinkel: w(AEB)=w(CED)
Hierraus folgt nun:
[mm] $w(ABE)=w(CED)=\alpha$ [/mm] ; [mm] $w(BEA)=w(DCE)=\beta$
[/mm]
mit der Winkelsumme in [mm] $\Delta\,ABE$ [/mm] folgt [mm] $\alpha+\beta=90°$
[/mm]
ferner folgt auch mit w(EFC)=90° ,dass [mm] w(CEF)=\alpha
[/mm]
Für den Winkel w(GEB) gilt also nun: [mm] $w(GEB)=180°-\alpha-90°=\beta$
[/mm]
Somit ist also [mm] $\Delta\,BEG$ [/mm] gleichschenkelg mit den Basiswinkel [mm] \beta [/mm] an der Basis [BE] und daher gilt nun [GB]=[GE]
Ferner ist der Winkel [mm] $w(GEA)=90°-\beta=\alpha$ [/mm] und somit ist auch [mm] $\Delta\,AGE$ [/mm] gleichschenklig mit den Basiswinkeln [mm] \alpha [/mm] und der Basis [AE] es folgt also [GA]=[GE]
mit oben folgt nun [GA]=[GE]=[GB] also [GA]=[GB] q.e.d
Ich hoffe dass ich die Winkel auch alle richtig bezeichnet habe. Leider habe ich erst jetzt festgestellt, dass die Punkte in der Aufgabenstellung anders bezeichnet wurden, bin jetzt aber zu faul das nochmal alles nachzubesser.(M=G)(S=E)
Gruß Samuel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:09 Do 02.12.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Samuel
Dein Lösungsweg ist genau richtig. Ich hab's mit Hilfe der Umfangswinkel bewiesen, aber da ist kein wesentlicher Unterschied.
Bei der konkreten Durchführung hast du aber die Winkel etwas durcheinander geworfen.
> Ich hab jetzt endlich mal die Zeit gefunden mich mit der
> Aufgabe zu befassen, und bin auch der Meinung nun (endlich)
> eine Lösung gefunden zu haben:
>
> E sei der Schnittpunkt der Diagonalen
> F sei der Schnittpunkt der Ortogonalen zu [CD] durch E mit
> [CD]
> G sei der Schnittpunkt der Gerade durch E und F mit der
> durch A und B
> mit [AB] meine ich die Strecke von A nach B und mit ~ die
> Ähnlichkeitsbeziehung (bin mir nicht ganz sicher ob das
> richtig ist??!)
>
> Nun der eigentliche Beweis:
> Ich führe den Beweis derart, indem ich zeige, dass eine
> Ortogonale zu [CD] durch E immer auch durch G geht, was zur
> Aufgabenstellung äquivalent ist
Nee! Du zeigst, dass G der Mittelpunkt von [AB] ist.
> [mm]\Delta\,ABE\sim\Delta\,ECD[/mm] ,da
> i)Sehnensatz: [mm][AE]*[EC]=[BE]*[ED]\gdw \frac{[AE]}{[ED]}=\frac{[BE]}{[EC]}
[/mm]
>
> ii)Scheitelwinkel: w(AEB)=w(CED)
>
> Hierraus folgt nun:
> [mm]w(ABE)=w(CED)=\alpha[/mm] ; [mm]w(BEA)=w(DCE)=\beta[/mm]
[mm]w(ABE)=w(ECD)=\beta[/mm] ; [mm]w(BAE)=w(EDC)=\alpha[/mm] (Wenn ich nicht umbenenne, muss ich im Beweis alles ändern)
> mit der Winkelsumme in [mm]\Delta\,ABE[/mm] folgt
> [mm]\alpha+\beta=90°[/mm]
> ferner folgt auch mit w(EFC)=90° ,dass [mm]w(CEF)=\alpha
[/mm]
> Für den Winkel w(GEB) gilt also nun:
> [mm]w(GEB)=180°-\alpha-90°=\beta[/mm]
> Somit ist also [mm]\Delta\,BEG[/mm] gleichschenkelg mit den
> Basiswinkel [mm]\beta[/mm] an der Basis [BE] und daher gilt nun
> [GB]=[GE]
> Ferner ist der Winkel [mm]w(GEA)=90°-\beta=\alpha[/mm] und somit
> ist auch [mm]\Delta\,AGE[/mm] gleichschenklig mit den Basiswinkeln
> [mm]\alpha[/mm] und der Basis [AE] es folgt also [GA]=[GE]
> mit oben folgt nun [GA]=[GE]=[GB] also [GA]=[GB] q.e.d
>
> Ich hoffe dass ich die Winkel auch alle richtig bezeichnet
> habe. Leider habe ich erst jetzt festgestellt, dass die
> Punkte in der Aufgabenstellung anders bezeichnet wurden,
> bin jetzt aber zu faul das nochmal alles
> nachzubesser.(M=G)(S=E)
Das war auch nicht notwendig. Du hast deine Bezeichnungen ja sauber eingeführt.
Gruß Sigrid
>
> Gruß Samuel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Do 02.12.2004 | | Autor: | Teletubyyy |
Juhu,
ich freu mich, dass mein Beweis stimmt! Mit dem Satz der Umfangswinkel muss ich aber zugeben würde es um einiges eleganter gehen!
Jetzt die nächste Geo-Aufgabe
Gruß Samuel
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