Geometrische Folgen und Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:36 Mi 26.12.2012 | | Autor: | SiFER |
| Aufgabe | Geometrische Folgen und Reihen:
a3+a4=560
a4+a5=2240
gesucht a1 und q |
Meine Vorgehensweise:
(1) [mm] a_{n}=a_{1}*q^{n-1} [/mm] [Formel geometrische Folgen und Reihen]
(2) [mm] a_{3}+a_{4}=560 [/mm] [gegeben]
(2.1) [mm] a_{4}=560-a_{3} [/mm] [Auflösung nach a4]
(3) [mm] a_{4}+a_{5}=2240 [/mm] [gegeben]
(3.1) [mm] a_{4}=2240-a_{5} [/mm] [Auflösung nach a4]
(4) [mm] 560-a_{3}=2240-a_{5} [/mm] [a4=a4; (2.1) und (3.1) gleichsetzen]
(4.1) [mm] a_{3}=a_{1}*q^{3-1} [/mm] [siehe Formel (1): [mm] a_{n}=a_{1}*q^{n-1}]
[/mm]
(4.2) [mm] a_{5}=a_{1}*q^{5-1} [/mm] [siehe Formel (1): [mm] a_{n}=a_{1}*q^{n-1}]
[/mm]
(4.3) [mm] 560-a_{3}=2240-a_{5} [/mm] [Bearbeitung der Formel (4)]
(4.3.1) [mm] 560-(a_{1}*q^{3-1})=2240-(a_{1}*q^{5-1} [/mm] [a3 und a5 einsetzen; (4.1) und (4.2)]
(4.3.2) [mm] 560-(a_{1}*q^{2})=2240-(a_{1}*q^{4} [/mm] [Termumformung]
(4.3.3) q=6,441 [Taschenrechner solve-fkt]
(5) [mm] a_{4}= a_{1}*q^{3} [/mm] [Formel 1]
(?) Darf man bei (4.3.2) a1 auf beiden Seiten streichen und dann q ermitteln? Kann mir einer ab da mal die Auflösung + Beschreibung, Erklärung aufzeigen?
(?) Problem bei (5): Welches [mm] a_{4} [/mm] setze ich ein, um [mm] a_{1} [/mm] zu ermitteln?
(?) Wieso ist [mm] \bruch{a5}{a4}=\bruch{a4}{a3} [/mm] ???
Frohe Weihnachten & vielen Dank für eure Hilfen.
SiFER
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Hallo SiFER,
> Geometrische Folgen und Reihen:
>
> a3+a4=560
>
> a4+a5=2240
>
> gesucht a1 und q
> Meine Vorgehensweise:
>
> (1) [mm]a_{n}=a_{1}*q^{n-1}[/mm] [Formel geometrische Folgen und
> Reihen]
Normalerweise gibt man [mm] a_0 [/mm] und q an, aber dann passt Deine Formel ja auch.
> (2) [mm]a_{3}+a_{4}=560[/mm] [gegeben]
>
> (2.1) [mm]a_{4}=560-a_{3}[/mm] [Auflösung nach a4]
>
> (3) [mm]a_{4}+a_{5}=2240[/mm] [gegeben]
>
> (3.1) [mm]a_{4}=2240-a_{5}[/mm] [Auflösung nach a4]
>
> (4) [mm]560-a_{3}=2240-a_{5}[/mm] [a4=a4; (2.1) und (3.1)
> gleichsetzen]
>
> (4.1) [mm]a_{3}=a_{1}*q^{3-1}[/mm] [siehe Formel (1):
> [mm]a_{n}=a_{1}*q^{n-1}][/mm]
>
> (4.2) [mm]a_{5}=a_{1}*q^{5-1}[/mm] [siehe Formel (1):
> [mm]a_{n}=a_{1}*q^{n-1}][/mm]
>
> (4.3) [mm]560-a_{3}=2240-a_{5}[/mm] [Bearbeitung der Formel (4)]
>
> (4.3.1) [mm]560-(a_{1}*q^{3-1})=2240-(a_{1}*q^{5-1}[/mm] [a3 und a5
> einsetzen; (4.1) und (4.2)]
>
> (4.3.2) [mm]560-(a_{1}*q^{2})=2240-(a_{1}*q^{4}[/mm]
> [Termumformung]
>
> (4.3.3) q=6,441 [Taschenrechner solve-fkt]
>
> (5) [mm]a_{4}= a_{1}*q^{3}[/mm] [Formel 1]
>
> (?) Darf man bei (4.3.2) a1 auf beiden Seiten streichen und
> dann q ermitteln? Kann mir einer ab da mal die Auflösung +
> Beschreibung, Erklärung aufzeigen?
Nein, das darf man natürlich nicht. Dein Ansatz reduziert zwei Informationen (nämlich zwei gegebene Gleichungen) auf eine. Damit löst man ein Gleichungssystem mit je zwei Variablen und Gleichungen nur dann, wenn in diesem Schritt eine Variable eliminiert wird.
> (?) Problem bei (5): Welches [mm]a_{4}[/mm] setze ich ein, um [mm]a_{1}[/mm]
> zu ermitteln?
> (?) Wieso ist [mm]\bruch{a5}{a4}=\bruch{a4}{a3}[/mm] ???
Nachrechnen: beides ergibt q.
> Frohe Weihnachten & vielen Dank für eure Hilfen.
Ich fange mal von vorn an:
[mm] a_3+a_4=a_1*q^2+a_1*q^3=560
[/mm]
[mm] a_4+a_5=a_1*q^3+a_1*q^4=q*(a_1*q^2+a_1*q^3)=2240
[/mm]
Also [mm] \bruch{a_4+a_5}{a_3+a_4}=\bruch{q*(a_1*q^2+a_1*q^2)}{a_1*q^2+a_1*q^3}=\bruch{2240}{560}=4=q
[/mm]
So, und jetzt kannst Du ja mal [mm] a_1 [/mm] bestimmen. 
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Mi 26.12.2012 | | Autor: | SiFER |
Danke.
> > (?) Problem bei (5): Welches [mm]a_{4}[/mm] setze ich ein, um [mm]a_{1}[/mm]
> > zu ermitteln?
> > (?) Wieso ist [mm]\bruch{a5}{a4}=\bruch{a4}{a3}[/mm] ???
>
> Nachrechnen: beides ergibt q.
Ja [mm] q^6 [/mm] = [mm] q^6 [/mm] = q
Aber wie kommt man auf die Formel? Also warum ist a5/a4 und a4/a3 und nicht anders aufgestellt
[mm]\bruch{a5}{a4}=\bruch{a4}{a3}[/mm]
>
> > Frohe Weihnachten & vielen Dank für eure Hilfen.
>
> Ich fange mal von vorn an:
>
> [mm]a_3+a_4=a_1*q^2+a_1*q^3=560[/mm]
>
> [mm]a_4+a_5=a_1*q^3+a_1*q^4=q*(a_1*q^2+a_1*q^3)=2240[/mm]
>
> Also
> [mm]\bruch{a_4+a_5}{a_3+a_4}=\bruch{q*(a_1*q^2+a_1*q^2)}{a_1*q^2+a_1*q^3}=\bruch{2240}{560}=4=q[/mm]
>
Ich kann deine Rechnung nachvollziehen, aber würde gerne wissen wie man darauf kommt: [mm] \bruch{a_4+a_5}{a_3+a_4}
[/mm]
> So, und jetzt kannst Du ja mal [mm]a_1[/mm] bestimmen.
>
a3+a4=560
a1*q2 + a1*q3=560
a1*4² + [mm] a1*4^3=560 [/mm] [ Wie heißt die Regel nochmal, damit man die Rechnung zusammenfassen kann?]
a1*(16+64)=560
a1=560/(80)
a1=7
> Grüße
> reverend
>
Grüße SiFER
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:50 Do 27.12.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo SiFER!
> Danke.
>
> > > (?) Problem bei (5): Welches [mm]a_{4}[/mm] setze ich ein, um [mm]a_{1}[/mm]
> > > zu ermitteln?
> > > (?) Wieso ist [mm]\bruch{a5}{a4}=\bruch{a4}{a3}[/mm] ???
> >
> > Nachrechnen: beides ergibt q.
>
> Ja [mm]q^6[/mm] = [mm]q^6[/mm] = q
Das ist Blödsinn.
> Aber wie kommt man auf die Formel? Also warum ist a5/a4 und
> a4/a3 und nicht anders aufgestellt
>
> [mm]\bruch{a5}{a4}=\bruch{a4}{a3}[/mm]
Setze mal [mm]a_n=a_1\cdot q^{n-1}[/mm] ein!
> > > Frohe Weihnachten & vielen Dank für eure Hilfen.
> >
> > Ich fange mal von vorn an:
> >
> > [mm]a_3+a_4=a_1*q^2+a_1*q^3=560[/mm]
> >
> > [mm]a_4+a_5=a_1*q^3+a_1*q^4=q*(a_1*q^2+a_1*q^3)=2240[/mm]
> >
> > Also
> >
> [mm]\bruch{a_4+a_5}{a_3+a_4}=\bruch{q*(a_1*q^2+a_1*q^2)}{a_1*q^2+a_1*q^3}=\bruch{2240}{560}=4=q[/mm]
> >
>
> Ich kann deine Rechnung nachvollziehen, aber würde gerne
> wissen wie man darauf kommt: [mm]\bruch{a_4+a_5}{a_3+a_4}[/mm]
Worauf kommt? Setze auch hier [mm]a_n=a_1\cdot q^{n-1}[/mm] ein!
> > So, und jetzt kannst Du ja mal [mm]a_1[/mm] bestimmen.
> >
>
> a3+a4=560
>
> a1*q2 + a1*q3=560
>
> a1*4² + [mm]a1*4^3=560[/mm] [ Wie heißt die Regel nochmal,
> damit man die Rechnung zusammenfassen kann?]
Distributivgesetz!
> a1*(16+64)=560
>
> a1=560/(80)
>
> a1=7
Das ist richtig!
Lieben Gruß,
Fulla
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:25 Do 27.12.2012 | | Autor: | SiFER |
> Hallo SiFER!
>
> > Danke.
> >
> > > > (?) Problem bei (5): Welches [mm]a_{4}[/mm] setze ich ein, um [mm]a_{1}[/mm]
> > > > zu ermitteln?
> > > > (?) Wieso ist [mm]\bruch{a5}{a4}=\bruch{a4}{a3}[/mm] ???
> > >
> > > Nachrechnen: beides ergibt q.
> >
> > Ja [mm]q^6[/mm] = [mm]q^6[/mm] = q
>
> Das ist Blödsinn.
Das ist gar kein Blödsinn. Dann kannst du nicht einsetzen und auflösen.
[mm]\bruch{a1*q^4}{a1*q^3}=\bruch{a1*q^3}{a1*q^2}[/mm]
Termumformung: Beide Nenner mit der Gegenseite multiplizieren.
[mm] a1*q^4*a1*q^2 [/mm] = [mm] a1*q^3*a1*q^3
[/mm]
Termumformung a1 auf beiden Seiten zweimal streichen!
[mm] q^4 [/mm] *^2 [mm] =q^3*q^3
[/mm]
Das ist [mm] q^6 [/mm] = [mm] q^6 [/mm] !!!!!!!!!! Kürzen und dann kommt auf beiden Seiten q raus.
q=q
> > > Nachrechnen: beides ergibt q.
>
> > Aber wie kommt man auf die Formel? Also warum ist a5/a4 und
> > a4/a3 und nicht anders aufgestellt
> >
> > [mm]\bruch{a5}{a4}=\bruch{a4}{a3}[/mm]
>
> Setze mal [mm]a_n=a_1\cdot q^{n-1}[/mm] ein!
>
Okay, kann die Aufstellung von a5/a4 und a4/a3 nicht nachvollziehen und würde bei der eigenständigen Aufgabe daran scheitern, weil ich diesen Teil mir nicht herleiten kann.
Einsetzen verstanden und soweit in Ordnung, aber warum a5 durch a4? und nicht durch a3 oder [...] genauso wie bei a4 durch a3 warum nicht durch ax.
Ist es jetzt eindeutiger formuliert?
> > > > Frohe Weihnachten & vielen Dank für eure Hilfen.
> > >
> > > Ich fange mal von vorn an:
> > >
> > > [mm]a_3+a_4=a_1*q^2+a_1*q^3=560[/mm]
> > >
> > > [mm]a_4+a_5=a_1*q^3+a_1*q^4=q*(a_1*q^2+a_1*q^3)=2240[/mm]
> > >
> > > Also
> > >
> >
> [mm]\bruch{a_4+a_5}{a_3+a_4}=\bruch{q*(a_1*q^2+a_1*q^2)}{a_1*q^2+a_1*q^3}=\bruch{2240}{560}=4=q[/mm]
> > >
> >
> > Ich kann deine Rechnung nachvollziehen, aber würde gerne
> > wissen wie man darauf kommt: [mm]\bruch{a_4+a_5}{a_3+a_4}[/mm]
>
> Worauf kommt? Setze auch hier [mm]a_n=a_1\cdot q^{n-1}[/mm] ein!
>
Das weiß ich, was man einsetzen muss. Ich möchte den URSPRUNG dieser Formel wissen, also warum diese Aufstellung und keine andere.
Ich muss doch wissen, wie ich [mm]\bruch{a_4+a_5}{a_3+a_4}[/mm] aufstelle, sonst kann ich doch gar nicht einsetzen - ohne diese Gleichung [mm]\bruch{a_4+a_5}{a_3+a_4}[/mm]. Die Herleitung der Gleichung.
> > > So, und jetzt kannst Du ja mal [mm]a_1[/mm] bestimmen.
> > >
> >
> > a3+a4=560
> >
> > a1*q2 + a1*q3=560
> >
> > a1*4² + [mm]a1*4^3=560[/mm] [ Wie heißt die Regel nochmal,
> > damit man die Rechnung zusammenfassen kann?]
>
> Distributivgesetz!
Danke. Das ist richtig! :)
>
> > a1*(16+64)=560
> >
> > a1=560/(80)
> >
> > a1=7
>
> Das ist richtig!
>
Danke für das Nachrechnen.
>
> Lieben Gruß,
> Fulla
>
Weihnachtliche Grüße
SiFER !
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Hallo SiFER,
deine Fragen sind wirklich unpräzise formuliert in dem Sinn, dass man nicht verstehen kann, was dir unklar ist.
Was eine geometrische Folge ist (und darum geht es hier ganz offensichtlich) ist dir klar? Da gibt es nämlich nichts zum 'Draufkommen' sondern das ist im Prinzip eine Definition.
Dass man den Bruch
[mm] \bruch{a_4+a_5}{a_3+a_4}
[/mm]
untersuchen muss, wenn nur diese beiden Summen aus der Aufgabenstellung gegeben sind, sollte damit auch klar sein: weil man sicherlich, wie schon gesagt wurde den Faktor q herausziehen kann und ihn damit berechnen kann.
Was ist dir denn genau unklar an der Vorgehensweise?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 Do 27.12.2012 | | Autor: | Fulla |
Hallo zurück!
> > > [red">Nachrechnen: beides ergibt q.
> >
> > Ja [mm]q^6=\blue{q^6=q}[/mm]
> >
> > Das ist Blödsinn.
>
>
> Das ist gar kein Blödsinn. Dann kannst du nicht einsetzen
> und auflösen.
Doch, das ist Blödsinn und ich kann wohl einsetzen und auflösen. Du ja offensichtlich auch, denn du hast ja richtig [mm]q=4[/mm] berechnet. Dann steht da aber [mm]4^6=4096\neq 4[/mm] (siehe blauer Teil oben).
> <span class="math]
>
> Termumformung: Beide Nenner mit der Gegenseite
> multiplizieren.
>
> <span class=" math"="">[mm]a1*q^4*a1*q^2[/mm]</span> = [mm]a1*q^3*a1*q^3[/mm]
>
> Termumformung a1 auf beiden Seiten zweimal streichen!
>
> [mm]q^4[/mm] * <span class="math]<span class=" math"="">[mm]=q^3*q^3[/mm]</span> <span class="math]
>
> Das ist <span class=" math"="">[mm]q^6[/mm]</span> = [mm]q^6[/mm] !!!!!!!!!! Kürzen und dann kommt auf
> beiden Seiten q raus.
>
> q=q
Diese Formulierung ist besser! Darauf wollte ich hinaus.
Lieben Gruß,
Fulla
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