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| Aufgabe | Ein wichtiger Begriff aus der physikalischen Chemie ist die Zustandssumme:
[mm] Z=\summe_{n}e^{(-E_{n})/k*T}
[/mm]
mit den Energieniveaus des Systems [mm] E_{n}, [/mm] der Boltzmann-Konstanten k und der absoluten Temperatur T. Aus der Zustandssumme lässt sich beispielsweise die spezifische Wärme [mm] C_{V} [/mm] berechnen:
[mm] C_{V}=\partial/\partial*T+(kT^{2}(\partial/\partial*T)*(lnZ))_{V}
[/mm]
a) Berechnen Sie unter Verwendung der Summenformel für die geometrische Reihe die Zustandssumme für einen harmonischen Oszillator. Bei diesem gilt für die Energieniveaus:
[mm] E_{n}=(n+1/2)*h*v [/mm] (n [mm] \in \{0, 1, 2, ...\}) [/mm] mit dem Planckschen Wirkungsquantum h und der Frequenz v. Tipp: Sie erhalten eine geometrische Reihe mit [mm] q=e^{a} [/mm] mit(a=hv/kT).
b) Ein Festkörper kann im einfachsten Fall als System von 3N harmonischen Oszillatoren betrachtet werden (N: Anzahl der Atome). Berechnen Sie mit dieser Näherung
die spezifische Wärme des Festkörpers. Tipp: Es ist lnZ=(a/2)- [mm] ln(e^{a}-1)Beachten [/mm] Sie beim Ableiten, dass a von T abhängt.
c) Welche Grenzwerte ergeben sich für die in b) berechnete spezifische Wärme in den
Grenzfällen T [mm] \to [/mm] 0 und T [mm] \to [/mm] 1? |
Hallo,
ich habe a) versucht zu lösen, und ich bekomme nicht wie es in dem Tipp steht eine geom. Reihe mit [mm] q=e^{a} [/mm] mit(a=hv/kT), sondern [mm] q=e^{-a}:
[/mm]
Ich habe die Reihe mit n=0,1,2 und 3 notiert:
n=0 : [mm] e^{-a/2}
[/mm]
n=1 : [mm] e^{-3a/2}
[/mm]
n=2 : [mm] e^{-5a/2}
[/mm]
n=3 : [mm] e^{-7a/2}
[/mm]
und mit der formel q=(wert n+1)/(wertn)=zb. [mm] q=(e^{-3a/2})/(e^{-a/2})=e^{-a} [/mm] für q bekommen. Was ist dran falsch und wie bekommt man [mm] q=e^{a}?
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Danke im Voraus für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 Mo 23.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
klammere als erstes aus der Summe den faktor [mm] e^{0.5*h*\nu/kT} [/mm] aus. dann kannst du den Rest mit [mm] q=e^{-a} [/mm] summieren.
wenn da [mm] e^a [/mm] steht ist vielleicht die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{n}1/q^i [/mm] gemeint, oder ein Vorzeichenfehler bei a.
Gruss leduart
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| Aufgabe 1 | | Aufgabe 2 | Ein wichtiger Begriff aus der physikalischen Chemie ist die Zustandssumme:
[mm] Z=\summe_{n}e^{(-E_{n})/k*T}
[/mm]
mit den Energieniveaus des Systems [mm] E_{n}, [/mm] der Boltzmann-Konstanten k und der absoluten Temperatur T. Aus der Zustandssumme lässt sich beispielsweise die spezifische Wärme [mm] C_{V} [/mm] berechnen:
[mm] C_{V}=\partial/\partial*T+(kT^{2}(\partial/\partial*T)*(lnZ))_{V}
[/mm]
a) Berechnen Sie unter Verwendung der Summenformel für die geometrische Reihe die Zustandssumme für einen harmonischen Oszillator. Bei diesem gilt für die Energieniveaus:
[mm] E_{n}=(n+1/2)*h*v [/mm] (n [mm] \in \{0, 1, 2, ...\}) [/mm] mit dem Planckschen Wirkungsquantum h und der Frequenz v. Tipp: Sie erhalten eine geometrische Reihe mit [mm] q=e^{a} [/mm] mit(a=hv/kT).
b) Ein Festkörper kann im einfachsten Fall als System von 3N harmonischen Oszillatoren betrachtet werden (N: Anzahl der Atome). Berechnen Sie mit dieser Näherung
die spezifische Wärme des Festkörpers. Tipp: Es ist lnZ=(a/2)- [mm] ln(e^{a}-1)Beachten [/mm] Sie beim Ableiten, dass a von T abhängt.
c) Welche Grenzwerte ergeben sich für die in b) berechnete spezifische Wärme in den
Grenzfällen T [mm] \to [/mm] 0 und T [mm] \to [/mm] 1? |
Hallo,
ich habe a) versucht zu lösen, und ich bekomme nicht wie es in dem Tipp steht eine geom. Reihe mit [mm] q=e^{a} [/mm] mit(a=hv/kT), sondern [mm] q=e^{-a}:
[/mm]
Ich habe die Reihe mit n=0,1,2 und 3 notiert:
n=0 : [mm] e^{-a/2}
[/mm]
n=1 : [mm] e^{-3a/2}
[/mm]
n=2 : [mm] e^{-5a/2}
[/mm]
n=3 : [mm] e^{-7a/2}
[/mm]
und mit der formel q=(wert n+1)/(wertn)=zb. [mm] q=(e^{-3a/2})/(e^{-a/2})=e^{-a} [/mm] für q bekommen. Was ist dran falsch und wie bekommt man [mm] q=e^{a}?
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Danke im Voraus für die Hilfe!
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Ok, ich nehme also an, meine Lösung sei richtig. Heb ne Formel für den Wert der geom. Reihe:
[mm] s_{n}=c_{0}*(1-q^{n+1})/1-q
[/mm]
mit [mm] c_{0}: [/mm] Anfangswert der Reihe (n=0 : [mm] e^{-a/2})
[/mm]
Also [mm] s_{n}=e^{-a/2}*(1-e^{(-a)n+1})/1-e^{-a}=
[/mm]
[mm] =e^{-a/2}*(1-e^{-a-an})/1-e^{-a}=
[/mm]
[mm] =e^{-a/2}*(1-e^{-a/2(-3-2n)})/1-e^{-a}
[/mm]
Ist das richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:21 Di 24.04.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
bis zur vorletzten Zeile ist es richtig, wenn du noch im nenner Klammern setzt. sollst du das nicht für n gegen Unendlich? was du in der letzten zeile machst verstehe ich nicht, und warum die 2 te zeile besser ist als die erste auch nicht.
gruss leduart
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stimmt. also wenn [mm] n\to\infty, [/mm] ist die lösung:
[mm] s_{n}=e^{-a/2}/1-e^{-a} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Di 24.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo matheonline!
> also wenn [mm]n\to\infty,[/mm] ist die lösung:
> [mm]s_{n}=e^{-a/2}/1-e^{-a}[/mm] ?
Du scheinst das Richtige zu meinen, auch wenn es falsch aufgeschrieben ist:
- Wenn es sich hier bereits um den Grenzwert handelt, darf vorne nicht mehr [mm] $s_{\red{n}}$ [/mm] stehen.
- es fehlen im Nenner Klammern (wie bereits angemerkt wurde)
Ansonsten könnte man den Bruch noch mit [mm] $e^a$ [/mm] erweitern, um die negativen Exponenten zu eliminieren.
Gruß
Loddar
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