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| Aufgabe | Bestimme: a.) [mm] 3^1 [/mm] + [mm] 3^2 [/mm] + [mm] 3^3 [/mm] + ... + 3^20
b.) [mm] 1+(1/2)+(1/2)^2+...+(1/2) [/mm] ^10
c.) 1-5+25-...+...-3125
d.) 3+12+48+...+3072 |
Hallo, kann mir jemand helfen? Ich weiss nicht, wie ich die Aufgabe lösen soll und verstehe auch nicht was man machen muss und warum!Hab schon im Internet erfolglos gesucht! Meine Freundin hat mir die Aufgabe gestellt,damit ich ein bisschen üben kann! Leider hat sie keine Zeit, da sie am studieren ist um mir das zu erklären! Kann jemand evtl. die Aufgaben lösen und erklären warum man das machen muss! Danke im Vorraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Di 19.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo. Was sollst du denn damit machen? Sollst du eine Folgevorschrift dafür anfertigen? Also stellen die ganzen Zahlen Folgenglieder dar?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Di 19.09.2006 | | Autor: | Kathy2212 |
Ich denke, dass man die Folgevorschrift angeben soll, ich weiss es aber auch nicht so genau! Dort steht ja nur Bestimme: und dann schon die Aufgaben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Di 19.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Ok, also: Folgen sind ja nur Funktionen mit dem Definitionsbereich [mm] \IN.
[/mm]
Statt y=mx+b würde man, wenn es sich um eine Folge handelt, [mm] (a_{n})=mn+b [/mm] schreiben. [mm] (a_{n}) [/mm] würde Folge statt Funktion heißen und die einzelnen "Funktionswerte" heißen Folgenglieder.
Wenn du z.B. dafür eine Folge angeben solltest:
(1;2;3;4;5;...)
Würde das so aussehen:
[mm] (a_{n})=n.
[/mm]
n läuft also von 1 bis [mm] \infty [/mm] durch und nimmt nur natürliche Zahlen an.
Die Folgevorschrift für (0,5; 1; 1,5; 2;...) wäre [mm] (a_{n})=0,5n.
[/mm]
Nun zu deinen Aufgaben:
Bei [mm] (3^{1};3²;3³;3^{4};...) [/mm] siehst du,d ass sichd er Exponent immer um 1 erhöht.
Also wäre die Folgenvorschrift dafür: [mm] (a_{n})=3^{n}.
[/mm]
Bei [mm] (1;\bruch{1}{2};(\bruch{1}{2})²...) [/mm] wäre das etwas schwieriger.
Du könntest aber dafür auch [mm] ((\bruch{1}{2})^{0};(\bruch{1}{2})^{1};(\bruch{1}{2})^{2};(\bruch{1}{2})^{3};...) [/mm] schreiben. Wobei wir wieder bei [mm] (a_{n})=(\bruch{1}{2})^{n}=\bruch{1}{2^{n}} [/mm] wären.
Vielleicht willst du die anderen beiden selber versuchen... aber ein Tipp: Wenn das Vorzeichen innerhalb der Folge immer wechselt, muss ein [mm] (-1)^{n} [/mm] vorkommen!
ACHTUNG: Habe mich leider vertan! Die Folge davor sollte [mm] (a_{n})=(\bruch{1}{2})^{n-1}=\bruch{1}{2^{n-1}} [/mm] heißen, da die Exponenten bei 0 anfangen, n aber bei 1 anfängt.
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Achso, danke! Ich glaub ich hab das Prinzip verstanden! Dann ist das bei c.) [mm] (a_{n})= 5*(-1)^n [/mm] und bei
d.) [mm] (a_{n})=4n [/mm] oder hab ich das doch noch falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Di 19.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Hm nein, lider nicht! Aber c) und d) waren auch die schwersten der 4 Aufgaben. Bei deiner Lösung von c würde z.B. (-5;5;-5;5;...) herauskommen, da sich die 5 nicht verändert, sondern nur das Vorzeichen!
Nehmen wir mal die Folge ohne den Vorzeichenwechsel, also (1,5,25,...)
Das 1. Folgenglied ist [mm] a_{1}, [/mm] das 2. [mm] a_{2} [/mm] u.s.w.
[mm] a_{1}=1(=5^{0} [/mm] (einfach abzulesen)
[mm] a_{2}=5=5^{1}
[/mm]
[mm] a_{3}=5*5=5²
[/mm]
Dann könnte man noch ein paar Beispielfolgenglieder machen. [mm] a_{4} [/mm] wäre sicher 125, wenn man das System erkannt hat ;)
[mm] a_{4}=5*5*5=5³
[/mm]
...
[mm] a_{n}=5^{n-1}
[/mm]
Und da sich das Vorzeichen immer ändert:
[mm] a_{n}=(-1)^{n-1}*5^{n-1}
[/mm]
In dem Fall steht da [mm] (-1)^{n-1}, [/mm] weil das 1. Folgenglied positiv ist! Und da n bei 1 anfängt hat man dann [mm] -1^{0}=1, [/mm] und danach geht es abwechselnd positiv/negativ weiter. Solche Folgen nennt man auch alternierend! Und Folgen, bei denen der Quotient aus einem Folgenglied und em Folgenglied davor immer gleich ist, nennt man geometrische Folgen. Wie bei c)
Denn wenn du z.B. [mm] \bruch{125}{25} [/mm] rechnest erhälst du 5.
Bei [mm] \bruch{25}{5} [/mm] auch und bei [mm] \bruch{5}{1} [/mm] auch. Also ist c eine geometrische, alternierende Folge! Nur als Zusatzinfo ;)
Es ist halt immer hilfreich eine Schreibweise zu finden, bei der du erkennen kannst was von einem zum nächstens Folgenglied passiert.
bei d) sieht man, dass immer mit 4 multipliziert wird. Fangen wir mal wieder mit Beispielfolgengliedern an:
[mm] a_{1}=3(=3*4^{0})
[/mm]
[mm] a_{2}=12=3*4
[/mm]
[mm] a_{3}=48=3*4*4=3*4²
[/mm]
[mm] a_{4}=192=3*4*4*4=3*4³
[/mm]
...
langsam erkennt man dann das System und kann sagen:
[mm] a_{n}=3*4^{n-1}
[/mm]
[mm] a_{n}=4n [/mm] würde so aussehen: (4;8;12;16;...)
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Hallo Kathy2212,
> Bestimme: a.) [mm]3^1[/mm] + [mm]3^2[/mm] + [mm]3^3[/mm] + ... + 3^20
> b.) [mm]1+(1/2)+(1/2)^2+...+(1/2)[/mm] ^10
> c.) 1-5+25-...+...-3125
> d.) 3+12+48+...+3072
> Hallo, kann mir jemand helfen? Ich weiss nicht, wie ich
> die Aufgabe lösen soll und verstehe auch nicht was man
> machen muss und warum!
Also wenn die Überschrift "geometrische Reihe" lautet, sollst du vermutlich jedesmal eine geschlossene Darstellung für die Reihe angeben, wobei du ja hier endliche Summen hast. Insofern wäre die kürzeste Darstellung eine Zahl.  Also geht es hier wohl darum die Summanden nicht bloß zusammenzuaddieren, um diese Zahl zu erhalten, sondern einen möglichst kurzen Rechenweg dafür zu finden.
Betrachte z.B. die Gleichung:
[mm]3^1 + \dotsb 3^{20} = k[/mm],
wobei [mm]k[/mm] diese gesuchte Zahl sein soll. Jetzt addieren wir auf beiden Seiten [mm]3^0[/mm] hinzu:
[mm]3^0 + 3^1 + \dotsb + 3^{20} = k + 3^0[/mm]
Jetzt multiplizieren wir auf beiden Seiten mit 2:
[mm]2\cdot{3^0} + 2\cdot{3^1} + \dotsb + 2\cdot{3^{20}} = 2k + 2[/mm]
Und zuletzt addieren wir auf beiden Seite eine 1. Die Frage ist wie sich die linke Summe dadurch verändert. Es gilt:
[mm]2\cdot{3^0} + 1 = 2 + 1 = 3^1[/mm]
Das addieren wir zum nächsten Summanden:
[mm]3^1 + 2\cdot{3^1} = 3\cdot{3^1} = 3^2[/mm]
Das addieren wir zum nächsten Summanden u.s.w. .
Am Schluß erhalten wir: [mm]3\cdot{3^{20}} = 3^{21} = 2k+3[/mm]
Auflösen nach k ergibt: [mm]k = \tfrac{3^{21} - 3}{2} = 5230176600[/mm].
Und entsprechend müßtest du auch die anderen Aufgaben bearbeiten.
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Di 19.09.2006 | | Autor: | Teufel |
Ok, ich wusste nicht genau was gefordert war... Naja, wenn du das ausrechnen sollst dann höre auf Karl ;) wenn du Folgen suchst, die deine genannten Folgenglieder beinhalten nimm meine Varianten! Kommt drauf an was du genau brauchst.
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Das kiann ja kein Nachteil sein! 