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Für alle a,b [mm] \in \IR, [/mm] a [mm] \not= [/mm] b, und für alle n [mm] \in \IN [/mm] mit Null gilt:
[mm] \summe_{k=0}^{n} a^{k} \* b^{n-k} [/mm] = [mm] \bruch{a^{n+1} - b^{n+1}}{a-b}
[/mm]
Beweis durch vollständige Induktion.
ich habe den beweis ( eigentlich ) schon fertig, aber ich bekomme immer einen faktor zuviel. wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte und den fehler in meinen berechnungen aufdeckt.
(IA) ... klar
(IS) ZZ:
[mm] \summe_{k=0}^{n+1} a^{k} \* b^{n-k} [/mm] = [mm] \bruch{a^{n+2} - b^{n+2}}{a-b}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{k=0}^{n} a^{k} \* b^{n-k} [/mm] + [mm] a^{n+1} \* b^{n-(n+1)} [/mm] = [mm] \bruch{a^{n+1} - b^{n+1}}{a-b} [/mm] + [mm] a^{n+1} \* b^{-1}
[/mm]
dann auf einen nenner gebracht und subtrahiert ( der eine summant fällt raus )
dann erhalte ich folgendes:
= [mm] \bruch{a^{n+2} - b^{n+2}}{b \*(a-b)}
[/mm]
also habe ich im nenner den faktor b zuviel, um das richtige endergebnis zu bekommen.
als bemerkung gab es zu der aufgabe noch das:
Für b=1 nennt man dies die geometrische Summenformel. Wichtig !
MfG The_master
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Hallo,
zu zeigen ist ein ganz bißchen was anderes:
> (IS) ZZ:
[mm]\summe_{k=0}^{n+1} a^{k} \* b^{(n+1)-k}[/mm] = [mm]\bruch{a^{n+2} - b^{n+2}}{a-b}[/mm]
Nun wirst Du Erfolg haben.
Gruß v. Angela
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