Geometrische Summenformel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweise ohne vollst. Induktion [mm] \forall\IN_{0} [/mm] und [mm] q\in\IR\setminus\ [/mm] {1} gilt [mm] \summe_{i=0}^{n}q^i=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] |
Hallo Leute,
Mein Ansatz:
[mm] \summe_{i=0}^{n}q^i=\bruch{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] <=> [mm] \summe_{i=0}^{n}q^i*(1-q)=1-q^{i+1}
[/mm]
Weiter folgt [mm] \summe_{i=0}^{n}q^i*(1-q)=\summe_{i=0}^{n}q^i-q*\summe_{i=0}^{n}q^i=1+q^1+q^2+....+q^{n-1}+q^n-(q^1+q^2+....+q^n+q^{n+1})=1-q^{n-1}
[/mm]
So mein Problem ist nun folgendes bzw ich denke folgendes:
Ich glaube "nur" gezeigt zuhaben, dass [mm] \summe_{i=0}^{n}q^i*(1-q) [/mm] => [mm] 1-q^{i+1} [/mm] (mittels Umformen und Anwendung von ein paar Gesetzen..)
Nun das Zeichen "=" stellt eine Äquivalenzrelation dar "<=>" (gesprochen: genau dann, wenn) ...Müsste ich dann zusätzlich noch zeigen, dass aus [mm] 1-q^{i+1} [/mm] => [mm] \summe_{i=0}^{n}q^i*(1-q) [/mm] Damit ich [mm] \summe_{i=0}^{n}q^i*(1-q)=1-q^{i+1} [/mm] bewiesen habe??
Hmm ich hoffe, ihr versteht mein kleines Problemchen^^
Lg, Blaub33r3
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Hallo Blaub33r3,
Ich denke, du brauchst hier nur einen Äquivalenzpfeil. Denn Du kannst sofort mit dem Term [mm]\textstyle(1-q)\sum_{i=0}^n{q^i}[/mm] anfangen:
[mm](1-q)\sum_{i=0}^n{q^i}=\left(q^0+\sum_{i=1}^n{q^i}\right)-\sum_{i=0}^n{q^{i+1}}=\left(1+\sum_{i=1}^n{q^i}\right)-\left(q^{n+1}+\sum_{i=1}^n{q^i}\right)=1-q^{n+1}\Leftrightarrow\sum_{i=0}^n{q^i}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
Da es sich hier um eine Äquivalenzumformung handelt, ist die Formel damit gezeigt.
Viele Grüße
Karl
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