Geometrische Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 Fr 19.04.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Seit T die Wartezeit auf den ersten Erfolg bei einer unabhängigen Folge 0 - 1 Experimenten mit Erfolgswahrscheinlichkeit p. Achtung der Grundraum ( Alle 0 -1 Folgen) ist hier überabzählbar, für diese Aufgabe darf angenommen werden, dass die üblichen Gesetzte für abzählbare Räume auch hier gelten.
1)Bereche P[T=k]
2) Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeir von [mm] \{ T= k+n}] [/mm] uter der Bedingung T>k, Interpretiere das Resultat
3)Seien nun [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2 [/mm] unabhängige, geometrisch verteilte Zufallsvariablen mit Parameter p. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit
[mm] P[T_1 [/mm] = k | [mm] T_1 [/mm] + [mm] T_2 [/mm] = n ]
(k<n) |
Hallo
1) P[T=k] = [mm] (1-p)^{k-1} [/mm] p
-> [mm] (1-p)^{k-1}.. [/mm] ersten k-1 Male Misserfolg 0
-> p ..letzte Mal Erfolg 1
2)
Die Bedingungen zusammen besagen m>0
P(T=l+m | T> k) = [mm] \frac{(T=k+m) \cap (T >k)]}{P(T>k)}
[/mm]
Wie berechne ich P(T>k)?
3) [mm] T_1 [/mm] + [mm] T_2 [/mm] = n
<=> k + (n-k) = n
[mm] T_1 [/mm] kann werte von 1 bis n-1 annehmen (da k<n)
Zu jeden [mm] T_1 [/mm] wert findet sich ein [mm] T_2 [/mm] wert sodass bedingung [mm] T_1 [/mm] + [mm] T_2 [/mm] = n erfüllt ist.
Insgesamt also n-1 Möglichkeiten
Kann ich nun Laplace Modell anwenden?? Oder darf ich laplace nicht anwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:44 Sa 20.04.2013 | | Autor: | luis52 |
> 2)
> Die Bedingungen zusammen besagen m>0
> P(T=l+m | T> k) = [mm]\frac{(T=k+m) \cap (T >k)]}{P(T>k)}[/mm]
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Bitte halte dich doch an die Vorgaben, sonst gibt's ein ziemliches Kuddelmuddel. Gesucht ist
$P(T=k+n [mm] \mid [/mm] T> k) = [mm] \frac{(T=k+n) \cap (T >k)]}{P(T>k)}$
[/mm]
> Wie berechne ich $P(T>k)$?
Na so: [mm] $P(T>k)=1-P(T\le k)=1-\sum_{i=1}^kP(T=i)=\dots$
[/mm]
>
> 3) [mm]T_1[/mm] + [mm]T_2[/mm] = n
> <=> k + (n-k) = n
>
> [mm]T_1[/mm] kann werte von 1 bis n-1 annehmen (da k<n)
> Zu jeden [mm]T_1[/mm] wert findet sich ein [mm]T_2[/mm] wert sodass
> bedingung [mm]T_1[/mm] + [mm]T_2[/mm] = n erfüllt ist.
> Insgesamt also n-1 Möglichkeiten
>
> Kann ich nun Laplace Modell anwenden?? Oder darf ich
> laplace nicht anwenden?
Was heisst anwenden? Es kann sein, dass eine Gleichverteilung resultiert.
Gesucht ist $ [mm] P[T_1 [/mm] = k [mm] \mid T_1 [/mm] + [mm] T_2 [/mm] = n ] [mm] =\frac{P[(T_1 = k)\cap( T_1 + T_2 = n) ] }{P[T_1 + T_2 = n ] }=\frac{P[T_2 = n-k) ] }{P[T_1 + T_2 = n ] }$
[/mm]
fuer [mm] $k=0,\dots,n-1$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:35 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Lu- |
> Was heisst anwenden? Es kann sein, dass eine Gleichverteilung resultiert.
> Gesucht ist $ [mm] P[T_1 [/mm] = k [mm] \mid T_1 [/mm] + [mm] T_2 [/mm] = n ] [mm] =\frac{P[(T_1 = k)\cap( T_1 + T_2 = n) ] }{P[T_1 + T_2 = n ] }=\frac{P[T_2 = n-k) ] }{P[T_1 + T_2 = n ] } [/mm] $
fuer $ [mm] k=0,\dots,n-1 [/mm] $.
Aber wie rechnest du dies dann schlussendlch aus?
also den unteren wert?
LG
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Hallo,
> > Was heisst anwenden? Es kann sein, dass eine
> Gleichverteilung resultiert.
>
> > Gesucht ist [mm]P[T_1 = k \mid T_1 + T_2 = n ] =\frac{P[(T_1 = k)\cap( T_1 + T_2 = n) ] }{P[T_1 + T_2 = n ] }=\frac{P[T_2 = n-k) ] }{P[T_1 + T_2 = n ] }[/mm]
>
> fuer [mm]k=0,\dots,n-1 [/mm].
>
> Aber wie rechnest du dies dann schlussendlch aus?
> also den unteren wert?
Unter der Annahme [mm] $T_1,T_2 \ge [/mm] 0$ gilt
[mm] $\IP(T_1 [/mm] + [mm] T_2 [/mm] = n) = [mm] \sum_{k=0}^{n}\IP(T_1 [/mm] + [mm] T_2 [/mm] = n, [mm] T_2 [/mm] = k) = [mm] \sum_{k=0}^{n}\IP(T_1 [/mm] = n-k, [mm] T_2 [/mm] = k) $
Nun Unabhängigkeit von [mm] $T_1,T_2$ [/mm] ausnutzen, usw.
Viele Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:27 So 21.04.2013 | | Autor: | Lu- |
Hei
> $ [mm] \IP(T_1 [/mm] + [mm] T_2 [/mm] = n) = [mm] \sum_{k=0}^{n}\IP(T_1 [/mm] + [mm] T_2 [/mm] = n, [mm] T_2 [/mm] = k) = [mm] \sum_{k=0}^{n}\IP(T_1 [/mm] = n-k, [mm] T_2 [/mm] = k) $
= [mm] \sum_{k=0}^n P(T_1 [/mm] = n-k) * [mm] P(T_2 [/mm] =k) = [mm] \sum_{k=0}^n (1-p)^{n-k-1} [/mm] p [mm] (1-p)^{k-1}*p [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n (1-p)^{n-2} p^2 [/mm] = [mm] p^2 [/mm] * [mm] \frac{(1-p)^{n-1} -1}{-p} [/mm] = -p [mm] *[(1-p)^{n-1} [/mm] -1]= -p [mm] (1-p)^{n-1} [/mm] + p
Also:
> [mm] P[T_1 [/mm] = k [mm] \mid T_1 [/mm] + [mm] T_2 [/mm] = n ] [mm] =\frac{P[(T_1 = k)\cap( T_1 + T_2 = n) ] }{P[T_1 + T_2 = n ] }=\frac{P[T_2 = n-k) ] }{P[T_1 + T_2 = n ] } [/mm]
[mm] =\frac{(1-p)^{n-k}p}{-p(1-p)^{n-1} +p} [/mm] = [mm] \frac{(1-p)^{n-k}}{-(1-p)^{n-1} +1} [/mm]
Geht da noch was zu vereinfachen?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:20 So 21.04.2013 | | Autor: | luis52 |
> Geht da noch was zu vereinfachen?
> lg
ich fuerchte, es gibt hier noch einiges zu tun, denn die geometrische oder allgemeiner die Pascal-Verteilung birgt die Tuecke, dass man klaeren muss, was man zaehlt: Die Anzahl der Versuche *insgesamt* oder die Anzahl der Fehlversuche.
Du gibst die Verteilung fuer [mm] $T=1,2,3,\dots$ [/mm] an. In der Aufgabenstellung finde ich
Sei $T$ die Wartezeit auf den ersten Erfolg bei einer unabhängigen Folge 0 - 1 Experimenten mit Erfolgswahrscheinlichkeit $p$.
Dem Aufgabensteller schwebt anscheinend eine Verteilung vor, die bei Null beginnt, denn die Wartezeit ist 0, wenn schon im ersten Zug ein Erfolg auftritt.
Das passt dann auch zur Formulierung
Seien nun $ [mm] T_1 [/mm] $ und $ [mm] T_2 [/mm] $ unabhängige, geometrisch verteilte Zufallsvariablen mit Parameter $p$. Berechne die bedingte Wahrscheinlichkeit $ [mm] P[T_1 [/mm] = k | [mm] T_1 [/mm] + [mm] T_2 [/mm] = n ]$ ($k<n$).
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 21.04.2013 | | Autor: | Lu- |
Ich verstehe beinen Fehler nicht...
Die SUmme beginnt doch bei 0 ..
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:02 So 21.04.2013 | | Autor: | luis52 |
> Ich verstehe beinen Fehler nicht...
> Die SUmme beginnt doch bei 0 ..
>
In deiner ersten Zuschrift schriebst du
1) $P[T=k] = [mm] (1-p)^{k-1} [/mm] p$
Und hier ist [mm] $k=1,2,3,\dots$
[/mm]
vg Luis
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:35 So 21.04.2013 | | Autor: | Lu- |
Also ist P[T=k]= [mm] (1-p)^k [/mm] p
Oder?
Es passt ja dann allles auser dass ich das überall verbessern muss.
[mm] P[T_1 [/mm] | [mm] T_1 [/mm] + [mm] T_2 [/mm] = n ]= [mm] \frac{P[(T_1 =k) \cap (T_1 + T_2 =n )]}{P[T_1 + T_2 =n ]} [/mm] = [mm] \frac{P[T_2 = n-k]}{P[T_1 + T_2 = n ]}= [/mm] ~
[mm] T_1 [/mm] , [mm] T_2 \ge [/mm] 0
[mm] P[T_1 [/mm] + [mm] T_2 [/mm] =n ]= [mm] \sum_{k=0}^ [/mm] n [mm] P(T_1 [/mm] + [mm] T_2 [/mm] = n, [mm] T_2 [/mm] = k)= [mm] \sum_{k=0}^n P(T_1 [/mm] = n-k, [mm] T_2 [/mm] =k)= [mm] \sum_{k=0}^n P(T_1 [/mm] = n-k) [mm] *P(T_2=k)= \sum_{k=0}^n (1-p)^{n-k} [/mm] p [mm] (1-p)^k [/mm] = [mm] \sum_{k=0}^n (1-p)^n p^2 [/mm] = (n+1) [mm] (1-p)^n p^2
[/mm]
~= [mm] \frac{1}{(1-p)^k (n+1)}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 23.04.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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