Geometrische Vielfachheit < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $A=\pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 }$.
[/mm]
(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von $A$ und jeweils deren algebraische und geometrische Vielfachheit.
(b) Bestimmen Sie jeweils Basen der Eigenräume und ergänzen Sie diese jeweils zu Basen der zugehörigen Haupträume.
(c) Fügen Sie die in (b) gewonnenen Basen zu einer Basis $b$ des [mm] $R^{4}$ [/mm] zusammen, so dass [mm] ${}_{b}A_{b}$ [/mm] eine Jordanmatrix ist. |
Hallo.
Gleich vorneweg ein Geständnis: Dieses Thema ist das letzte Thema des Stoffes und für Informatiker in der Klausur nicht mehr relevant. Bei erfolgreicher Bearbeitung kann sich die Note aber verbessern, jedoch nicht verschlechtern. Deshalb habe ich mir dieses Thema für den Tag aufgehoben, an dem ich mit dem für Informatiker vorgeschriebenen Stoff durch bin. Dieser Tag ist heute, also einen Tag vor der Klausur und leider habe ich Schwierigkeiten, die Teilaufgaben (b) und (c) zu verstehen, weil der Stoff einfach zu neu ist und die Zeit reicht leider nicht mehr aus, dass ich mir dieses Thema noch selbst beibringe.
Ich wäre deshalb sehr dankbar, wenn sich jemand bereit erklären würde, die Fragen bzgl. der Teilaufgabe (a) zu beantworten und mir in möglichst einfachen Sätzen die Zwischenschritte der Teilaufgaben (b) und (c) zu erklären. Dabei geht es mir weniger um die Bedeutung der Rechnungen, als vielmehr um die Technik wie man eine solche Aufgabe rechnet (Stichpunkt: zusätzliche Punkte in der Klausur).
Hoffe das geht in Ordnung.
Vielen Dank für Euren Support.
Gruß
el_grecco
Bezüglich den Teilaufgaben habe ich folgende Fragen:
(a)
Beträgt die algebraische Vielfachheit für 2 und 3 jeweils 2, da die Zahlen 2 und 3 auf der Diagonalen jeweils zweimal vorkommen?
Ist die Dimension der Matrix 4 weil die Matrix über 4 Spalten verfügt, oder weil sie über 4 Zeilen verfügt?
Die geometrische Vielfachheit der Matrix erhält man also dadurch, dass man den Rang von der Dimension abzieht?
Musterlösung:
$A$ ist obere Dreiecksmatrix, daher kann man die beiden Eigenwerte 2 und 3 mit ihrer jeweiligen algebraischen Vielfachheit 2 direkt von der Diagonalen ablesen. Die geometrische Vielfachheit erhält man durch Bestimmung des Rangs von [mm] $A-\lambda E,\lambda=2,3$:
[/mm]
[mm] $A-2E=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }\sim\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }\Rightarrow\operatorname{rg}(A-2E)=3$,
[/mm]
also ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts 2 gleich 1, da [mm] $\operatorname{dim}\operatorname{Ker}(A-2E)=4-3=1.$
[/mm]
[mm] $A-3E=\pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }\sim\pmat{ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }\Rightarrow\operatorname{rg}(A-3E)=3$,
[/mm]
also ist die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts 3 auch gleich 1.
(b) In den Zeilen-Stufen-Formen von $(A-2E)$ und $(A-3E)$ aus (a) liest man sofort ab, dass [mm] $E_{2}(A)=\operatorname{span}(b_{1}),E_{3}(A)=\operatorname{span}(b_{3})$ [/mm] mit den Eigenvektoren
[mm] $b_{1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $b_{3}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}$.
[/mm]
Für den Hauptraum [mm] $H_{2}(A)$ [/mm] berechnen wir den Kern von
[mm] $(A-2E)^{2}=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }^{2}=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }\sim\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }$.
[/mm]
Mit [mm] $b_{2}=e_{2}$ [/mm] ist offenbar [mm] $(b_{1},b_{2})$ [/mm] eine Basis von [mm] $H_{2}(A)=\operatorname{Ker}(A-2E)^{2}$. [/mm] Für den Hauptraum [mm] $H_{3}(A)$ [/mm] erhält man
[mm] $(A-3E)^{2}=\pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }^{2}=\pmat{ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }\sim\pmat{ 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }$.
[/mm]
Mit [mm] $b_{4}=\vektor{-2 \\ -1 \\ 0 \\ 1}$ [/mm] wird [mm] $(b_{3},b_{4})$ [/mm] zu einer Basis von [mm] $H_{3}(A)=\operatorname{Ker}(A-3E)^{2}$.
[/mm]
(c) Für die Basis [mm] $b=(b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})$ [/mm] gilt [mm] $Ab_{1}=2b_{1},Ab_{2}=b_{1}+2b_{2},Ab_{3}=3b_{3}$. [/mm] Wegen [mm] $(A-3E)(A-3E)b_{4}=0$ [/mm] ist [mm] $(A-3E)b_{4}\not=0$ [/mm] im Nullraum von $A-3E$, sprich ein Eigenvektor zum Eigenwert 3. Explizite Rechnung ergibt
[mm] $(A-3E)b_{4}=\pmat{ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }\vektor{-2 \\ -1 \\ 0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 0}=b_{3}$,
[/mm]
bzw. [mm] $Ab_{4}=b_{3}+3b_{4}$. [/mm] Somit ist
[mm] ${}_{b}A_{b}=\pmat{ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 3 }$,
[/mm]
offenbar eine Jordanmatrix.
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> (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von [mm]A[/mm] und jeweils deren
> algebraische und geometrische Vielfachheit.
>
> Bezüglich den Teilaufgaben habe ich folgende Fragen:
>
> (a)
>
> Beträgt die algebraische Vielfachheit für 2 und 3 jeweils
> 2, da die Zahlen 2 und 3 auf der Diagonalen jeweils zweimal
> vorkommen?
>
JA, das ist richtig! Im allgemeinen kann man dies aber nicht von einer Matrix "einfach ablesen" aber da hier die Matrix schon eine obere Dreiecksmatrix ist, sind die Eigenwerte die Einträge auf der Diagonalen!
> Ist die Dimension der Matrix 4 weil die Matrix über 4
> Spalten verfügt, oder weil sie über 4 Zeilen verfügt?
>
Beide Varianten sind falsch im Ansatz! Die Dimension einer Matrix entspricht der Anzahl von linear unabhängigen Zeilen und Spaltenvektoren! Um die Dimension einer Matrix zu bestimmen,gibt es mehrere möglichkeiten. Eine davon beinhaltet die "Normalform Gestalt" ( eine Matrix mit einsen in der Diagonale bzw. ab einen bestimmten Punkt auch Nullen). Bei der formst du die Matrix mit elementaren Zeilen und Spaltenumformungen so um, das sie Normalformgestalt besitzt.
(die gegebene Matrix hat aber trotzdem, wie du schon erwähnt hattest, den Rang 4)
> Die geometrische Vielfachheit der Matrix erhält man also
> dadurch, dass man den Rang von der Dimension abzieht?
>
>
Also ich nehme mal an du meinst das richtige... rg(A)- rg( kern(A- /lambda E))
wenn du noch spezielle Fragen zu b) und c) hast, dann stelle sie auch! Wo hast du Probleme bzw was verstehst du nicht?
mfg Seamus
Angaben wie immer ohne Gewähr 
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