Geometrischer Beweis < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Di 24.03.2009 | | Autor: | LadyVal |
| Aufgabe | Das Dreieck ABC ist gleichschenklig und rechtwinklig, P und Q sind die Schnittpunkte der Quadratdiagonalen, M ist die Mitte von AB.
Beweisen Sie, dass die Strecke MP und MQ orthogonal und gleich lang sind.
Weil ich leider nicht weiß, wie man hier Skizzen einfügt, verlinke ich auf diese Seite, da hier eine Skizze vorhanden ist:
http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek1/geometrie/kongr/beweis1.odt.
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Trotz der Tipps auf jener Seite (die auf meinem Aufgabenblatt nicht genannt sind), finde ich keinen Ansatz, was vielleicht daran liegt, dass ich geometrische Beweis einfach überhaupt nicht verstehe. :'(
Ich bin mir nicht mal sicher, ob ich überhaupt die richtige Kategorie hierfür gewählt habe. Bisher haben wir solche Sachen halt immer mit geschlossenen Vektorzügen gemacht... Geht das hier auch so?
Würde mich daher freuen, wenn mir irgendwer von Euch irgendwie weiterhelfen könnte!
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Di 24.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Für 2 Punkte X und Y bezeichne ich mit l(XY) die Länge der Strecke [mm] \overline{XY}
[/mm]
Wir benötigen noch einen Hilfspunkt Q'. Q' sei die senkrechte Projektion von Q auf die Gerade durch A und B
Betrachte das Dreieck MBP. Dieses ist rechtwinklig und es gilt : l(AB) = l(BP)
Nach Pythagoras ist dann:
(1) [mm] l(MP)^2 [/mm] =( [mm] \bruch{l(AB)}{2})^2 +l(AB)^2
[/mm]
Betrachte nun das Dreieck MQQ'. Dieses ist rechtwinklig und es gilt : l(AB) = l(MQ' ) und l(QQ') = l(AB)/2
Nach Pythagoras ist dann:
(2) [mm] l(MQ)^2 =l(QQ')^2 +l(AB)^2 [/mm] = =( [mm] \bruch{l(AB)}{2})^2 +l(AB)^2
[/mm]
Aus (1) und (2) folgt:
l(MP) = l(MQ).
Damit sind die Dreiecke MBP und MQQ' kongruent.
Sei [mm] \alpha [/mm] der von den strecken AM und MQ eingeschlossene Winkel
Sei [mm] \beta [/mm] der von den strecken BM und MP eingeschlossene Winkel
Sei [mm] \gamma [/mm] der von den strecken QM und MP eingeschlossene Winkel
Sei [mm] \delta [/mm] der von den strecken PM und PB eingeschlossene Winkel
Zu zeigen ist noch: [mm] \gamma [/mm] = 90°.
Wegen der Kongruenz der Dreiecke ist [mm] \delta [/mm] = [mm] \alpha. [/mm] Weiter ist dann:
[mm] \beta [/mm] +90° [mm] +\alpha [/mm] = 180°, also [mm] \beta [/mm] = 90° - [mm] \alpha,
[/mm]
Wegen [mm] \alpha +\beta [/mm] + [mm] \gamma [/mm] = 180° folgt: [mm] \gamma [/mm] = 90°
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:45 Di 24.03.2009 | | Autor: | LadyVal |
Oh! Das ist ja jede Menge! Ohne jetzt alles gelesen zu haben, möchte ich mich jetzt schon einmal bei Dir bedanken.
Ich versuche nun den Ansatz zu verstehen, um mich dann am Rest allein zu versuchen. Wenn das nicht klappt, schiele ich dann ab und an auf Deinen Lösungsweg. :')
Danke in jedem Fall!
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