Gerade-Punkt-Aufgabe < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:55 Mi 05.10.2011 | | Autor: | Paivren |
| Aufgabe | In einem Hochseilklettergarten ist ein Seil nahezu geradlinig zwischen den Punkten [mm] P\pmat{ 2 \\ 1 \\ 4 } [/mm] und [mm] Q\pmat{ -2 \\ 1 \\ 8} [/mm] gespannt (Einheit 1m). Für eine Erweiterung der Anlage soll ein Mast errichtet werden, der im Punkt [mm] R\pmat{ 0 \\ 2 \\ 0 } [/mm] orthogonal auf der x1x2-Ebene steht.
Die Mastspitze S soll von dem Seil einen Abstand von 3m haben und höher als das Seil liegen. Bestimmen Sie die Koordinaten von S! |
Hallo,
wir schreiben übermorgen eine Klausur, in der Aufgaben dieser Art drankommen werden und ein Kumpel und ich sitzen gerade daran und kommen absolut nicht auf die Lösung.
Wir hatten überlegt, eine Hilfsebene aufzuspannen, die die Seil-Gerade und den Punkt enthält, aber von dem Punkt fehlt uns ja eine Variable.
Jemand ein paar Tipps =/?
mfG.
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Hallo Paivren,
> In einem Hochseilklettergarten ist ein Seil nahezu
> geradlinig zwischen den Punkten [mm]P\pmat{ 2 \\
1 \\
4 }[/mm] und
> [mm]Q\pmat{ -2 \\
1 \\
8}[/mm] gespannt (Einheit 1m). Für eine
> Erweiterung der Anlage soll ein Mast errichtet werden, der
> im Punkt [mm]R\pmat{ 0 \\
2 \\
0 }[/mm] orthogonal auf der
> x1x2-Ebene steht.
> Die Mastspitze S soll von dem Seil einen Abstand von 3m
> haben und höher als das Seil liegen. Bestimmen Sie die
> Koordinaten von S!
> Hallo,
>
> wir schreiben übermorgen eine Klausur, in der Aufgaben
> dieser Art drankommen werden und ein Kumpel und ich sitzen
> gerade daran und kommen absolut nicht auf die Lösung.
>
> Wir hatten überlegt, eine Hilfsebene aufzuspannen, die die
> Seil-Gerade und den Punkt enthält,
Gute Idee.
> aber von dem Punkt
> fehlt uns ja eine Variable.
Nein, es fehlt nur eine Koordinate, nämlich die [mm] x_3-Angabe. [/mm] Und genau dahin stellt Ihr nun eine Variable, so dass die Mastspitze so definiert ist:
[mm] S=\vektor{0\\2\\h}
[/mm]
So, jetzt die Hilfsebene aufspannen und den Abstand des Punktes vom Seil ermitteln (abhängig von h). Für den Abstand 3m gibt es zwei Lösungen; Ihr braucht die größere von beiden.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Mi 05.10.2011 | | Autor: | Paivren |
Hallo, danke für die schnelle Antwort.
Wir haben jetzt die Ebene aufgestellt, indem wir den Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor genommen und den Punkt S eingetragen haben.
Dann kommt eine Ebenengleichung zustande, die so aussieht:
-4x1+4x3=4h
Jetzt haben wir den Schnittpunkt der Geraden mit dieser Ebene berechnet, da kommt bei uns S1(3+h | 1 | 3+h) raus.
Der Betrag des Vektors [mm] \overrightarrow{SS1}=\vektor{3+h \\ -1 \\ 3} [/mm] muss dann 3 gesetzt werden.
Also [mm] 3=\wurzel{(3+h)² + 1 + 9}
[/mm]
Diesen Term kriegen war aber nicht aufgelöst.
Haben wir uns nur verrechnet oder ist der ganze Weg falsch?
mfG.
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Hallo,
der Ansatz ist jedenfalls nicht falsch.
mal angenommen, ihr habt euch nicht verrechnet (ich hab auf die Schnelle einen anderen Schnittpunkt [mm] $S_1$ [/mm] gefunden, kann mich aber geirrt haben), so müsste es unter der Wurzel doch erst einmal heißen: [mm] $(3+h)^2 [/mm] + ...$ ich nehme an, dass das Quadrat hier nur vergessen wurde. Eine Wurzelgleichung löst man wohl am einfachsten, indem man die Wurzel durch Quadrieren der ganzen Gleichung entfernt (beachtet, dass dabei zusätzliche Lösungen entstehen könnten, das Quadrieren ist somit keine Äquivalenzumformung und ihr solltet eure Ergebnisse eventuell durch eine Probe absichern).
Ich würde doch ganz gerne einmal eure Rechnung bis hierhin sehen (eben aufgrund der unterschiedlichen Ergebnisse), bevor ihr euch noch vergebens die Mühe macht, diese Gleichung zu lösen.
Gruß, Melvissimo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:17 Mi 05.10.2011 | | Autor: | Paivren |
Ja, der Ansatz war richtig, wir haben noch einmal alles ordentlich durchgerechnet, und zumindest ich bin auf das richtige Ergebnis gekommen mit schönen Zahlen!
Danke für eure Mühen, schönen Abend noch =P
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