Gerade Abstand zu Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Di 01.12.2015 | | Autor: | Calculu |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Ebene mit Aufpunkt [mm] P_{E}= \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] und Normalenvektor [mm] \vec{n}= \vektor{0 \\ 2 \\ 1}, [/mm] sowie eine Gerade g mit Aufpunkt [mm] P_{g}=\vektor{-1 \\ 1 \\ 3} [/mm] und Richtungsvektor [mm] \vec{a}=\vektor{1 \\ -1 \\ 2}
[/mm]
Geben Sie eine Gerade an die im Abstand 3 parallel zur Ebene E verläuft. |
Hallo.
Im ersten Teil der Aufgabe sollte man die Lagebeziehung untersuchen. Dabei habe ich ermittelt, dass die Gerade parallel zur Ebene verläuft, da [mm] \vec{n}*\vec{a} [/mm] = 0. Daraufhin habe ich die Geradengleichung in die Ebenengleichung eingesetzt und eine wahre Aussage erhalten, also liegt die Gerade in der Ebene.
Meine Überlegung ist nun, dass die gesuchte Gerade den gleichen Richtungsvektor wie die vorgegebene Gerade hat. Aber wie bestimme ich den Aufpunkt? Meine Überlegung:
Aufpunkt [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] P_{E} [/mm] + [mm] 3*\vec{n_{0}} [/mm] mit [mm] \vec{n_{0}} [/mm] = normierter Normalenvektor.
Kann ich das so machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Di 01.12.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo!
> Meine Überlegung ist nun, dass die gesuchte Gerade den gleichen Richtungsvektor wie die > vorgegebene Gerade hat. Aber wie bestimme ich den Aufpunkt? Meine Überlegung:
> Aufpunkt $ [mm] \vec{b} [/mm] $ = $ [mm] P_{E} [/mm] $ + $ [mm] 3\cdot{}\vec{n_{0}} [/mm] $ mit $ [mm] \vec{n_{0}} [/mm] $ = normierter > > Normalenvektor.
> Kann ich das so machen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Beachte: es gibt unendlich viele Möglichkeiten an Geraden.
Jeder Punkt auf der Ebene "plus" oder "minus" dem normierten Normalenvektor ergibt die Stützpunkte der Geraden, welche die Lösung erfüllen.
Du könntest also auch die Rechenoperation z.B. [mm] \overrightarrow{OP_{E}} [/mm] - 3 * [mm] \overrightarrow{n_{0}} [/mm] und somit quasi den inversen Normalenvektor benutzen.
Gruß X³nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 Di 01.12.2015 | | Autor: | Calculu |
Super, danke für die Antwort.
Noch eine Frage:
Im nächsten Schritt soll eine Ebene in Parameterform angegeben werden, die die alte Ebene schneidet, allerdings nicht senkrecht.
Meine Überlegung: der Normalenvektor [mm] \vec{n_{neu}} [/mm] den neuen Ebene darf kein Vielfaches des Normalenvektors von E sein und [mm] \vec{n_{neu}}*\vec{n} \not= [/mm] 0.
Also wäre [mm] E_{neu}: \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu*\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] eine Lösung, da [mm] \vec{n_{neu}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
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> Super, danke für die Antwort.
> Noch eine Frage:
> Im nächsten Schritt soll eine Ebene in Parameterform
> angegeben werden, die die alte Ebene schneidet, allerdings
> nicht senkrecht.
Hallo,
> Meine Überlegung: der Normalenvektor [mm]\vec{n_{neu}}[/mm] den
> neuen Ebene darf kein Vielfaches des Normalenvektors von E
> sein
denn sonst wäre [mm] E_{neu} [/mm] parallel zu [mm] E_{alt} [/mm] oder identisch damit,
> und [mm]\vec{n_{neu}}*\vec{n} \not=[/mm] 0.
Sonst würden sie sich im rechten Winkel schneiden.
> Also wäre [mm]E_{neu}: \vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{-1 \\ 1 \\ 3}[/mm] +
> [mm]\lambda*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\mu*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> eine Lösung, da [mm]\vec{n_{neu}}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
Ja.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:40 Di 01.12.2015 | | Autor: | Calculu |
Top. Danke euch beiden! 
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