Gerade an Gerade spiegeln < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | g1:x = (1 / 2 / 1) + r (2 / 2 / -1) und g2:x = (7 / -1 / -5) + t (-2 / 1 / 2)
Spiegele g1 an g2, wobei bekannt ist, dass die Geraden einen Schnittpunkt bei (1/2/1) besitzen. |
Um die Aufgabe zu lösen habe ich mir gedacht, dass da die Geraden einen Schnittpunkt haben, es einfacher wäre einen Punkt an von g1 auf g2 zu spiegeln und dann eine Geradengleichung aufzustellen. Da wir solche Aufgaben noch nicht gerechnet haben, habe ich mich erstmal hier umgesehen: https://matheraum.de/forum/Punkt_an_Gerade_spiegeln/t492669. Somit hat sich für mich folgendes ergeben:
P(3/4/0) g:x=(7 / -1 / -5) + t (-2 / 1 / 2)
E: (x - (7/-1/-5))*(-2/1/2)=0 bzw. umgeformt -2x+y+2z=-25
und h:x=(3/ 4 / 0) + k(-2 / 1 / 2)
als ich dann h in die umgeformte Ebenengleichung eingestzt habe, kam bei mir für k [mm] -\bruch{23}{9} [/mm] raus.
Nun habe ich den Spiegelpunkt berechnet:
(3/4/0) - [mm] \bruch{46}{9}(-2/1/2)=(13\bruch{2}{9}/-1\bruch{1}{9}/-10\bruch{2}{9})
[/mm]
im Buch ist aber als Lösung für die Spiegelung des gleichen Punktes P' [mm] (\bruch{7}{9}/-\bruch{8}{9}/\bruch{2}{9}) [/mm] angegeben. Was habe ich falsch gemacht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo msuperman,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> g1:x = (1 / 2 / 1) + r (2 / 2 / -1) und g2:x = (7 / -1 /
> -5) + t (-2 / 1 / 2)
>
> Spiegele g1 an g2, wobei bekannt ist, dass die Geraden
> einen Schnittpunkt bei (1/2/1) besitzen.
> Um die Aufgabe zu lösen habe ich mir gedacht, dass da die
> Geraden einen Schnittpunkt haben, es einfacher wäre einen
> Punkt an von g1 auf g2 zu spiegeln und dann eine
> Geradengleichung aufzustellen. Da wir solche Aufgaben noch
> nicht gerechnet haben, habe ich mich erstmal hier
> umgesehen:
> https://matheraum.de/forum/Punkt_an_Gerade_spiegeln/t492669.
> Somit hat sich für mich folgendes ergeben:
>
> P(3/4/0) g:x=(7 / -1 / -5) + t (-2 / 1 / 2)
>
> E: (x - (7/-1/-5))*(-2/1/2)=0 bzw. umgeformt
> -2x+y+2z=-25
>
> und h:x=(3/ 4 / 0) + k(-2 / 1 / 2)
>
> als ich dann h in die umgeformte Ebenengleichung eingestzt
> habe, kam bei mir für k [mm]-\bruch{23}{9}[/mm] raus.
>
> Nun habe ich den Spiegelpunkt berechnet:
> (3/4/0) -
> [mm]\bruch{46}{9}(-2/1/2)=(13\bruch{2}{9}/-1\bruch{1}{9}/-10\bruch{2}{9})[/mm]
>
> im Buch ist aber als Lösung für die Spiegelung des gleichen
> Punktes P' [mm](\bruch{7}{9}/-\bruch{8}{9}/\bruch{2}{9})[/mm]
> angegeben. Was habe ich falsch gemacht?
Nun, wenn Du h in die Ebenengleichung einsetzt, erhältst Du
[mm]\left( \ \pmat{3 \\ 4 \\ 0}+k*\pmat{-2 \\ 1 \\ 2} - \pmat{7 \\ -1 \\ -5}\ \right) \* \pmat{-2 \\ 1 \\ 2}=0[/mm]
Hierbei ist
[mm]\overrightarrow{r}=\pmat{7 \\ -1 \\ -5}-\pmat{3 \\ 4 \\ 0}-k*\pmat{-2 \\ 1 \\ 2} [/mm]
der Richtungsvektor, der auf dem Richtungsvektor der Geraden [mm]g_{2}[/mm] senkrecht steht.
Genau dieser Richtungsvektor, weil
[mm]\pmat{3 \\ 4 \\ 0}+\left( \ \pmat{7 \\ -1 \\ -5}-\pmat{3 \\ 4 \\ 0}-k*\pmat{-2 \\ 1 \\ 2}\ \right)[/mm]
ein Punkt auf der Geraden [mm]g_{2}[/mm] ergibt.
Daher berechnet sich der Spiegelpunkt zu:
[mm]\overrightarrow{OP'}=\pmat{3 \\ 4 \\ 0}+2*\left( \ \pmat{7 \\ -1 \\ -5}-\pmat{3 \\ 4 \\ 0}-k*\pmat{-2 \\ 1 \\ 2}\ \right)[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 Mo 01.06.2009 | | Autor: | msuperman |
Dankeschön
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